sossssssssss

Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính từng phần của biểu thức rồi cộng lại. 1. Tính $\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2}$: \[ \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} = |\sqrt{3} + 1| \] Vì $\sqrt{3} + 1$ là số dương, nên: \[ |\sqrt{3} + 1| = \sqrt{3} + 1 \] 2. Tính $\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$: \[ \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = |1 - \sqrt{3}| \] Vì $1 - \sqrt{3}$ là số âm, nên: \[ |1 - \sqrt{3}| = -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1 \] 3. Cộng hai kết quả trên lại: \[ \sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} + \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2} = (\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1) \] \[ = \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1 \] \[ = 2\sqrt{3} \] Vậy biểu thức $\sqrt{(\sqrt{3} + 1)^2} + \sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$ bằng $2\sqrt{3}$. Đáp án đúng là: A. $2\sqrt{3}$. Câu 5: Căn bậc hai số học của $(-3)^2$ là: Bước 1: Tính giá trị của $(-3)^2$: \[ (-3)^2 = 9 \] Bước 2: Tìm căn bậc hai số học của 9: \[ \sqrt{9} = 3 \] Vậy đáp án đúng là B. 3. Câu 6: Để rút gọn biểu thức $-\frac{\sqrt{x^2}}{x}$ với điều kiện $x > 0$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của $\sqrt{x^2}$: - Với mọi số thực $x$, ta có $\sqrt{x^2} = |x|$. - Vì $x > 0$, nên $|x| = x$. 2. Thay giá trị của $\sqrt{x^2}$ vào biểu thức: - Biểu thức trở thành $-\frac{x}{x}$. 3. Rút gọn phân số: - Ta có $-\frac{x}{x} = -1$. Vậy kết quả của biểu thức $-\frac{\sqrt{x^2}}{x}$ với $x > 0$ là $-1$. Đáp án đúng là: B. -1. Câu 7: Để biểu thức $\sqrt{\frac{-2}{x-1}}$ xác định, ta cần phân tích điều kiện của biểu thức này. 1. Phân thức trong căn phải dương: Ta có $\frac{-2}{x-1} > 0$. Để phân thức này dương, tử số (-2) phải trái dấu với mẫu số (x-1). Vì tử số là âm (-2), mẫu số phải là số âm để phân thức dương. 2. Mẫu số phải khác 0: Mẫu số $x - 1$ phải khác 0, tức là $x \neq 1$. Từ hai điều kiện trên, ta có: - Mẫu số $x - 1 < 0$, suy ra $x < 1$. Do đó, biểu thức $\sqrt{\frac{-2}{x-1}}$ xác định khi $x < 1$. Đáp án đúng là: D. $x < 1$. Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn biểu thức dưới dấu căn: Ta có biểu thức $\sqrt{4(1 + 6x + 9x^2)}$. 2. Nhận biết dạng thức: Nhận thấy rằng $1 + 6x + 9x^2$ là một tam thức bậc hai hoàn chỉnh, có thể viết lại dưới dạng $(1 + 3x)^2$. 3. Thay vào biểu thức: Do đó, biểu thức trở thành $\sqrt{4(1 + 3x)^2}$. 4. Rút gọn biểu thức: Ta có $\sqrt{4(1 + 3x)^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{(1 + 3x)^2} = 2 \cdot |1 + 3x|$. 5. Xét điều kiện: Vì $x < -\frac{1}{3}$, nên $1 + 3x < 0$. Do đó, $|1 + 3x| = -(1 + 3x)$. 6. Tính giá trị biểu thức: Vậy $\sqrt{4(1 + 6x + 9x^2)} = 2 \cdot -(1 + 3x) = -2(1 + 3x)$. Đáp án đúng là: C. $-2(1 + 3x)$. Câu 9: Để tìm giá trị của biểu thức $\sqrt{9a^2(b^2+4-4b)}$ khi $a=2$ và $b=-\sqrt{3}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Thay giá trị của $a$ và $b$ vào biểu thức: \[ \sqrt{9 \cdot 2^2 \left[ (-\sqrt{3})^2 + 4 - 4(-\sqrt{3}) \right]} \] Bước 2: Tính giá trị của các thành phần trong biểu thức: \[ 2^2 = 4 \] \[ (-\sqrt{3})^2 = 3 \] \[ -4(-\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} \] Bước 3: Thay các giá trị đã tính vào biểu thức: \[ \sqrt{9 \cdot 4 \left[ 3 + 4 + 4\sqrt{3} \right]} \] Bước 4: Tính tổng trong ngoặc vuông: \[ 3 + 4 + 4\sqrt{3} = 7 + 4\sqrt{3} \] Bước 5: Thay tổng vừa tính vào biểu thức: \[ \sqrt{9 \cdot 4 \left( 7 + 4\sqrt{3} \right)} \] Bước 6: Nhân các số bên ngoài căn: \[ 9 \cdot 4 = 36 \] Bước 7: Thay kết quả nhân vào biểu thức: \[ \sqrt{36 \left( 7 + 4\sqrt{3} \right)} \] Bước 8: Tính căn bậc hai: \[ \sqrt{36} = 6 \] Bước 9: Nhân kết quả với biểu thức còn lại: \[ 6 \left( 7 + 4\sqrt{3} \right) \] Bước 10: Kết luận giá trị của biểu thức: \[ 6 \left( 7 + 4\sqrt{3} \right) = 42 + 24\sqrt{3} \] Tuy nhiên, ta thấy rằng đáp án không nằm trong các lựa chọn đã cho. Do đó, ta cần kiểm tra lại các bước tính toán để đảm bảo không có sai sót nào. Kiểm tra lại các bước: \[ \sqrt{9 \cdot 4 \left[ 3 + 4 + 4\sqrt{3} \right]} = \sqrt{36 \left( 7 + 4\sqrt{3} \right)} = 6 \left( 7 + 4\sqrt{3} \right) \] Ta nhận thấy rằng biểu thức ban đầu có thể được viết lại dưới dạng: \[ \sqrt{9a^2(b^2 + 4 - 4b)} = \sqrt{9a^2(b-2)^2} = 3|a|(b-2) \] Thay $a = 2$ và $b = -\sqrt{3}$ vào: \[ 3 \cdot 2 \cdot (-\sqrt{3} - 2) = 6(-\sqrt{3} - 2) = -6(\sqrt{3} + 2) \] Vậy giá trị của biểu thức là: \[ D. -6(\sqrt{3} + 2) \] Câu 10: Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có $\widehat{C} = 30^\circ$. Do đó, $\widehat{B} = 60^\circ$ (vì tổng các góc trong tam giác là $180^\circ$). Trong tam giác vuông có một góc $30^\circ$, cạnh đối diện với góc $30^\circ$ bằng nửa cạnh huyền. Vậy: \[ AB = \frac{1}{2} BC \] Thay giá trị của BC vào: \[ AB = \frac{1}{2} \times 16 = 8 \text{ cm} \] Đáp án đúng là: C. 8. Câu 11: Để phương trình $7x - 4y = a - 14$ nhận $(2; -3)$ là nghiệm, ta thay $x = 2$ và $y = -3$ vào phương trình. Thay $x = 2$ và $y = -3$ vào phương trình: \[7(2) - 4(-3) = a - 14\] Tính toán: \[14 + 12 = a - 14\] \[26 = a - 14\] Giải phương trình này để tìm giá trị của $a$: \[a = 26 + 14\] \[a = 40\] Vậy giá trị của $a$ là 40. Đáp số: $a = 40$. Câu 12: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông tin đã biết: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A. - Bình phương cạnh huyền BC là 289, tức là \(BC^2 = 289\). - Diện tích tam giác ABC là 60. 2. Tìm độ dài cạnh huyền BC: \[ BC = \sqrt{289} = 17 \] 3. Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = 60 \] Do đó: \[ AB \times AC = 120 \] 4. Áp dụng định lý Pythagoras: \[ AB^2 + AC^2 = BC^2 = 17^2 = 289 \] 5. Giả sử \(AB = x\) và \(AC = y\). Ta có hai phương trình: \[ x \times y = 120 \] \[ x^2 + y^2 = 289 \] 6. Giải hệ phương trình này: - Từ \(x \times y = 120\), ta có \(y = \frac{120}{x}\). - Thay vào phương trình \(x^2 + y^2 = 289\): \[ x^2 + \left(\frac{120}{x}\right)^2 = 289 \] \[ x^2 + \frac{14400}{x^2} = 289 \] Nhân cả hai vế với \(x^2\): \[ x^4 + 14400 = 289x^2 \] \[ x^4 - 289x^2 + 14400 = 0 \] Đặt \(t = x^2\), ta có phương trình bậc hai: \[ t^2 - 289t + 14400 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{289 \pm \sqrt{289^2 - 4 \times 14400}}{2} \] \[ t = \frac{289 \pm \sqrt{83521 - 57600}}{2} \] \[ t = \frac{289 \pm \sqrt{25921}}{2} \] \[ t = \frac{289 \pm 161}{2} \] \[ t_1 = \frac{450}{2} = 225 \quad \text{và} \quad t_2 = \frac{128}{2} = 64 \] Vậy \(x^2 = 225\) hoặc \(x^2 = 64\). 7. Tìm \(x\) và \(y\): - Nếu \(x^2 = 225\), thì \(x = 15\) và \(y = \frac{120}{15} = 8\). - Nếu \(x^2 = 64\), thì \(x = 8\) và \(y = \frac{120}{8} = 15\). 8. Vì \(AB > AC\), nên \(AB = 15\) và \(AC = 8\). 9. Tính tỉ số lượng giác sin C: \[ \sin C = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} = \frac{15}{17} \] Đáp số: \(\sin C = \frac{15}{17}\). Câu 13: a) Ta có: \[ \frac{a^2 + b^2}{2} - \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{2} - \frac{(a + b)^2}{4} = \frac{2(a^2 + b^2) - (a^2 + 2ab + b^2)}{4} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{4} = \frac{(a - b)^2}{4} \] Vì \(a > b\), nên \((a - b)^2 > 0\). Do đó: \[ \frac{(a - b)^2}{4} > 0 \implies \frac{a^2 + b^2}{2} > \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 \] Vậy phát biểu a) là Đúng. b) Ta có: \[ a^2 - b^2 - [a(a + 1) - b(b + 1)] = a^2 - b^2 - (a^2 + a - b^2 - b) = a^2 - b^2 - a^2 - a + b^2 + b = -a + b \] Vì \(a > b\), nên \(-a + b < 0\). Do đó: \[ a^2 - b^2 < a(a + 1) - b(b + 1) \] Vậy phát biểu b) là Sai. c) Ta có: \[ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} = \frac{(a - b)^2}{ab} \] Vì \(a > b\) và \(a, b\) là số thực dương, nên \((a - b)^2 > 0\) và \(ab > 0\). Do đó: \[ \frac{(a - b)^2}{ab} > 0 \implies \frac{a}{b} + \frac{b}{a} > 2 \] Vậy phát biểu c) là Đúng. d) Ta có: \[ a^3 - b^3 - (a^2b - ab^2) = (a - b)(a^2 + ab + b^2) - ab(a - b) = (a - b)(a^2 + ab + b^2 - ab) = (a - b)(a^2 + b^2) \] Vì \(a > b\) và \(a, b\) là số thực dương, nên \(a - b > 0\) và \(a^2 + b^2 > 0\). Do đó: \[ (a - b)(a^2 + b^2) > 0 \implies a^3 - b^3 > a^2b - ab^2 \] Vậy phát biểu d) là Sai. Đáp số: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai. Câu 14: A. Sai. Hai tâm đường tròn không đối xứng nhau qua dây chung. B. Đúng. Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc dây chung và đi qua trung điểm của dây chung. C. Đúng. Hai đường tròn phân biệt không thể có quá hai điểm chung. D. Sai. Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc, nhưng không nhất thiết là tiếp xúc trong. Câu 15: a) $(x^2-9)+x(x-3)=0$ Điều kiện xác định: Không có điều kiện xác định đặc biệt. $(x-3)(x+3)+x(x-3)=0$ $(x-3)(x+3+x)=0$ $(x-3)(2x+3)=0$ $x-3=0$ hoặc $2x+3=0$ $x=3$ hoặc $x=-\frac{3}{2}$ Vậy nghiệm của phương trình là $x=3$ hoặc $x=-\frac{3}{2}$. b) $3x+2>2x+5$ Điều kiện xác định: Không có điều kiện xác định đặc biệt. $3x-2x>5-2$ $x>3$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x>3$. c) $(x+2)(2x-3)< 2x^2-5x+6$ Điều kiện xác định: Không có điều kiện xác định đặc biệt. $2x^2-3x+4x-6< 2x^2-5x+6$ $2x^2+x-6< 2x^2-5x+6$ $x+5x< 6+6$ $6x< 12$ $x< 2$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x< 2$. Câu 16: Đầu tiên, ta tính tiền cước cho 20 km đầu tiên: - Tiền cước cho km đầu tiên: 15.000 đồng. - Tiền cước cho 19 km tiếp theo (từ km thứ 2 đến km thứ 20): 19 × 13.500 = 256.500 đồng. Tổng tiền cước cho 20 km đầu tiên là: \[ 15.000 + 256.500 = 271.500 \text{ đồng} \] Tiếp theo, ta tính số tiền còn lại sau khi đã trả tiền cước cho 20 km đầu tiên: \[ 300.250 - 271.500 = 28.750 \text{ đồng} \] Tiền cước cho mỗi km từ km thứ 21 trở đi là 11.500 đồng. Ta tính số km người này đã đi từ km thứ 21 trở đi: \[ \frac{28.750}{11.500} = 2.5 \text{ km} \] Vậy tổng quãng đường người này đã đi là: \[ 20 + 2.5 = 22.5 \text{ km} \] Đáp số: 22.5 km. Câu 17: Để so sánh các phương án trả tiền cước điện thoại, chúng ta sẽ xem xét chi phí cho từng phương án theo thời gian cuộc gọi. Phương án I: - Trả tổng cộng 99 cent cho 20 phút đầu. - Từ phút 21 trở đi, mỗi phút trả 5 cent. Phương án II: - Kể từ lúc đầu tiên, mỗi phút trả 10 cent. Phương án III: - Trả 25 cent tiền thuê bao. - Kể từ phút đầu tiên, mỗi phút trả 8 cent. Bây giờ, chúng ta sẽ so sánh chi phí của các phương án này cho các khoảng thời gian khác nhau. 1. So sánh cho cuộc gọi dưới 20 phút: Phương án I: - Chi phí cho 20 phút đầu là 99 cent. - Nếu cuộc gọi dưới 20 phút, chi phí vẫn là 99 cent. Phương án II: - Chi phí = 10 cent × số phút cuộc gọi. Phương án III: - Chi phí = 25 cent + 8 cent × số phút cuộc gọi. Ví dụ, nếu cuộc gọi kéo dài 10 phút: - Phương án I: 99 cent - Phương án II: 10 cent × 10 = 100 cent - Phương án III: 25 cent + 8 cent × 10 = 25 cent + 80 cent = 105 cent Như vậy, cho cuộc gọi dưới 20 phút, phương án I là rẻ nhất. 2. So sánh cho cuộc gọi trên 20 phút: Phương án I: - Chi phí cho 20 phút đầu là 99 cent. - Chi phí cho mỗi phút tiếp theo là 5 cent. Phương án II: - Chi phí = 10 cent × số phút cuộc gọi. Phương án III: - Chi phí = 25 cent + 8 cent × số phút cuộc gọi. Ví dụ, nếu cuộc gọi kéo dài 30 phút: - Phương án I: 99 cent + 5 cent × (30 - 20) = 99 cent + 50 cent = 149 cent - Phương án II: 10 cent × 30 = 300 cent - Phương án III: 25 cent + 8 cent × 30 = 25 cent + 240 cent = 265 cent Như vậy, cho cuộc gọi trên 20 phút, phương án I cũng là rẻ nhất. Kết luận: - Cho cuộc gọi dưới 20 phút, phương án I là rẻ nhất. - Cho cuộc gọi trên 20 phút, phương án I cũng là rẻ nhất. Do đó, phương án I là phương án tốt nhất để trả tiền cước điện thoại.