phần tự luận

Câu 2: Để tìm tọa độ trực tâm \( H(a, b) \) của tam giác \( ABC \), ta cần tìm giao điểm của hai đường cao hạ từ đỉnh \( A \) và \( B \) xuống cạnh đối diện. 1. Tìm phương trình đường thẳng \( BC \): - Điểm \( B(3, 0) \) và \( C(2, 6) \). - Vector \( \overrightarrow{BC} = (-1, 6) \). Phương trình đường thẳng \( BC \) đi qua điểm \( B(3, 0) \): \[ y - 0 = \frac{6 - 0}{2 - 3}(x - 3) \] \[ y = -6(x - 3) \] \[ y = -6x + 18 \] 2. Tìm phương trình đường cao hạ từ đỉnh \( A \) đến cạnh \( BC \): - Đường cao này vuông góc với \( BC \), do đó hệ số góc của đường cao này là \( \frac{1}{6} \) (vì tích của các hệ số góc của hai đường thẳng vuông góc là \(-1\)). - Đường cao này đi qua điểm \( A(-3, 0) \). Phương trình đường cao: \[ y - 0 = \frac{1}{6}(x + 3) \] \[ y = \frac{1}{6}x + \frac{1}{2} \] 3. Tìm phương trình đường thẳng \( AC \): - Điểm \( A(-3, 0) \) và \( C(2, 6) \). - Vector \( \overrightarrow{AC} = (5, 6) \). Phương trình đường thẳng \( AC \) đi qua điểm \( A(-3, 0) \): \[ y - 0 = \frac{6 - 0}{2 + 3}(x + 3) \] \[ y = \frac{6}{5}(x + 3) \] \[ y = \frac{6}{5}x + \frac{18}{5} \] 4. Tìm phương trình đường cao hạ từ đỉnh \( B \) đến cạnh \( AC \): - Đường cao này vuông góc với \( AC \), do đó hệ số góc của đường cao này là \( -\frac{5}{6} \). - Đường cao này đi qua điểm \( B(3, 0) \). Phương trình đường cao: \[ y - 0 = -\frac{5}{6}(x - 3) \] \[ y = -\frac{5}{6}x + \frac{5}{2} \] 5. Tìm giao điểm của hai đường cao: - Giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} y = \frac{1}{6}x + \frac{1}{2} \\ y = -\frac{5}{6}x + \frac{5}{2} \end{cases} \] Thay \( y \) từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai: \[ \frac{1}{6}x + \frac{1}{2} = -\frac{5}{6}x + \frac{5}{2} \] \[ \frac{1}{6}x + \frac{5}{6}x = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} \] \[ x = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào phương trình \( y = \frac{1}{6}x + \frac{1}{2} \): \[ y = \frac{1}{6}(2) + \frac{1}{2} \] \[ y = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \] \[ y = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} \] \[ y = \frac{5}{6} \] Vậy tọa độ trực tâm \( H \) là \( (2, \frac{5}{6}) \). 6. Tính \( a + 6b \): \[ a + 6b = 2 + 6 \left(\frac{5}{6}\right) \] \[ a + 6b = 2 + 5 \] \[ a + 6b = 7 \] Đáp số: \( a + 6b = 7 \).