Cho hình chữ nhật ABCD (AB AD) có chu vi và diện tích lần lượt là 6 dm và 2 dm2. Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB, ta được một hình trụ. Hình trụ này có thể chứa vừa khít một hình cầu bán kính R.

Question

Cho hình chữ nhật ABCD (AB > AD) có chu vi và diện tích lần lượt là 6 dm và 2 dm2. Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB, ta được một hình trụ. Hình trụ này có thể chứa vừa khít một hình cầu bán kính R.

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm kích thước của hình chữ nhật ABCD:

Gọi chiều dài của hình chữ nhật là $ AB = x $ (dm) và chiều rộng là $ AD = y $ (dm). Theo đề bài, chu vi của hình chữ nhật là 6 dm, do đó ta có phương trình:
   $$
   2(x + y) = 6 \implies x + y = 3
   $$

Diện tích của hình chữ nhật là 2 dm$^2$, do đó ta có phương trình:
   $$
   x \cdot y = 2
   $$

Từ hai phương trình trên, ta có hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   x + y = 3 \
   x \cdot y = 2
   \end{cases}
   $$

Giải hệ phương trình này, từ phương trình thứ nhất, ta có:
   $$
   y = 3 - x
   $$

Thay vào phương trình thứ hai:
   $$
   x(3 - x) = 2 \implies 3x - x^2 = 2 \implies x^2 - 3x + 2 = 0
   $$

Giải phương trình bậc hai này, ta có:
   $$
   x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2
   $$

Nếu $ x = 1 $, thì $ y = 3 - 1 = 2 $.

Nếu $ x = 2 $, thì $ y = 3 - 2 = 1 $.

Vậy kích thước của hình chữ nhật có thể là $ 1 \times 2 $ hoặc $ 2 \times 1 $.

2. Xác định hình trụ và hình cầu:

Khi quay hình chữ nhật quanh cạnh $ AB $, ta được một hình trụ có chiều cao $ h = AB = x $ và bán kính đáy $ r = \frac{AD}{2} = \frac{y}{2} $.

Hình cầu có bán kính $ R $ vừa khít với hình trụ, do đó:
   $$
   R = r = \frac{y}{2}
   $$

3. Tính bán kính hình cầu:

Với $ x = 2 $ và $ y = 1 $, ta có:
   $$
   R = \frac{1}{2}
   $$

Với $ x = 1 $ và $ y = 2 $, ta có:
   $$
   R = \frac{2}{2} = 1
   $$

Vậy bán kính của hình cầu có thể là $ \frac{1}{2} $ dm hoặc 1 dm.

Kết luận: Bán kính của hình cầu có thể là $ \frac{1}{2} $ dm hoặc 1 dm, tùy thuộc vào cách chọn kích thước của hình chữ nhật.

Cho hình chữ nhật ABCD (AB > AD) có chu vi và diện tích lần lượt là 6 dm và 2 dm2. Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB, ta được một hình trụ. Hình trụ này có thể chứa vừa khít một hình cầu bán kính R...