giải giúp mình

Câu 4: Để tính các giá trị lượng giác của các góc lớn hơn 90 độ nhưng nhỏ hơn 180 độ, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các định lý liên quan đến góc phụ và góc bù. 1. Tính \(\sin 100^\circ\): Sử dụng công thức: \(\sin(180^\circ - x) = \sin x\). \[ \sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ \] 2. Tính \(\sin 160^\circ\): Sử dụng công thức: \(\sin(180^\circ - x) = \sin x\). \[ \sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ \] 3. Tính \(\cos 170^\circ\): Sử dụng công thức: \(\cos(180^\circ - x) = -\cos x\). \[ \cos 170^\circ = \cos(180^\circ - 10^\circ) = -\cos 10^\circ \] 4. Tính \(\tan 103^\circ 45'\): Đổi phút sang độ: \(103^\circ 45' = 103.75^\circ\). Sử dụng công thức: \(\tan(180^\circ - x) = -\tan x\). \[ \tan 103.75^\circ = \tan(180^\circ - 76.25^\circ) = -\tan 76.25^\circ \] 5. Tính \(\cot 124^\circ 15'\): Đổi phút sang độ: \(124^\circ 15' = 124.25^\circ\). Sử dụng công thức: \(\cot(180^\circ - x) = -\cot x\). \[ \cot 124.25^\circ = \cot(180^\circ - 55.75^\circ) = -\cot 55.75^\circ \] Tóm lại, các giá trị lượng giác của các góc đã cho là: - \(\sin 100^\circ = \sin 80^\circ\) - \(\sin 160^\circ = \sin 20^\circ\) - \(\cos 170^\circ = -\cos 10^\circ\) - \(\tan 103^\circ 45' = -\tan 76.25^\circ\) - \(\cot 124^\circ 15' = -\cot 55.75^\circ\) Câu 5: Để tìm giá trị của các biểu thức đã cho, chúng ta cần sử dụng các giá trị lượng giác cơ bản của các góc đặc biệt. Dưới đây là các giá trị cần nhớ: - \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) - \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - \(\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\) Bây giờ, chúng ta sẽ tính từng biểu thức: a) Biểu thức \(A = 2\sin 30^\circ + 3\cos 45^\circ - \sin 60^\circ\). - Thay các giá trị lượng giác vào biểu thức: \[ A = 2 \times \frac{1}{2} + 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \] - Tính từng phần: \[ 2 \times \frac{1}{2} = 1 \] \[ 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] \[ \text{Vậy } A = 1 + \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \] b) Biểu thức \(B = 3\cos 30^\circ + 3\sin 45^\circ - \cos 60^\circ\). - Thay các giá trị lượng giác vào biểu thức: \[ B = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \] - Tính từng phần: \[ 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \] \[ 3 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] \[ \text{Vậy } B = \frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \] Kết luận: - Giá trị của biểu thức \(A\) là \(1 + \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\). - Giá trị của biểu thức \(B\) là \(\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}\). Câu 6: Để giải các bài toán lượng giác này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng phần: a) \((2\sin30^0+\cos135^0-3\tan150^0).(\cos180^0-\cot60^0)\) 1. Tính các giá trị lượng giác: - \(\sin30^0 = \frac{1}{2}\) - \(\cos135^0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) - \(\tan150^0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) - \(\cos180^0 = -1\) - \(\cot60^0 = \frac{1}{\tan60^0} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) 2. Thay các giá trị vào biểu thức: \[ 2\sin30^0 = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \] \[ 3\tan150^0 = 3 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\sqrt{3} \] \[ (2\sin30^0+\cos135^0-3\tan150^0) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} \] \[ (\cos180^0-\cot60^0) = -1 - \frac{1}{\sqrt{3}} \] 3. Tính giá trị của biểu thức: \[ (1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3}) \times (-1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) \] Tính toán chi tiết sẽ cho kết quả cuối cùng. b) \(\sin^290^0+\cos^2120^0+\cos^20^0-\tan^260^0+\cot^2135^0\) 1. Tính các giá trị lượng giác: - \(\sin90^0 = 1\) - \(\cos120^0 = -\frac{1}{2}\) - \(\cos0^0 = 1\) - \(\tan60^0 = \sqrt{3}\) - \(\cot135^0 = -1\) 2. Thay các giá trị vào biểu thức: \[ \sin^290^0 = 1^2 = 1 \] \[ \cos^2120^0 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] \[ \cos^20^0 = 1^2 = 1 \] \[ \tan^260^0 = (\sqrt{3})^2 = 3 \] \[ \cot^2135^0 = (-1)^2 = 1 \] 3. Tính giá trị của biểu thức: \[ 1 + \frac{1}{4} + 1 - 3 + 1 = \frac{5}{4} \] c) \(\cos60^0.\sin30^0+\cos^230^0\) 1. Tính các giá trị lượng giác: - \(\cos60^0 = \frac{1}{2}\) - \(\sin30^0 = \frac{1}{2}\) - \(\cos30^0 = \frac{\sqrt{3}}{2}\) 2. Thay các giá trị vào biểu thức: \[ \cos60^0 \cdot \sin30^0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] \[ \cos^230^0 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} \] 3. Tính giá trị của biểu thức: \[ \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \] d) \(\sin100^0+\sin80^0+\cos16^0+\cos164^0\) 1. Sử dụng công thức cộng góc: - \(\sin(180^0 - x) = \sin x\) - \(\cos(180^0 - x) = -\cos x\) 2. Thay các giá trị vào biểu thức: \[ \sin100^0 = \sin80^0 \] \[ \cos16^0 = \cos16^0 \] \[ \cos164^0 = -\cos16^0 \] 3. Tính giá trị của biểu thức: \[ \sin80^0 + \sin80^0 + \cos16^0 - \cos16^0 = 2\sin80^0 \] e) \(2\sin(180^0-\alpha).\cot\alpha-\cos(180^0-\alpha).\tan\alpha.\cot(180^0-\alpha)\) 1. Sử dụng công thức lượng giác: - \(\sin(180^0 - \alpha) = \sin \alpha\) - \(\cos(180^0 - \alpha) = -\cos \alpha\) - \(\cot(180^0 - \alpha) = -\cot \alpha\) 2. Thay các giá trị vào biểu thức: \[ 2\sin(180^0-\alpha) = 2\sin\alpha \] \[ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \] \[ \cos(180^0-\alpha) = -\cos\alpha \] \[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \] \[ \cot(180^0-\alpha) = -\cot\alpha \] 3. Tính giá trị của biểu thức: \[ 2\sin\alpha \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} - (-\cos\alpha) \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot (-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}) \] \[ = 2\cos\alpha - \cos\alpha = \cos\alpha \] Vậy, giá trị của biểu thức là \(\cos\alpha\). Câu 7: Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các giá trị lượng giác cơ bản và các công thức lượng giác. a) Tính giá trị của biểu thức \( A = \sin 45^\circ + 2\sin 60^\circ + \tan 120^\circ + \cos 135^\circ \) 1. Tính \(\sin 45^\circ\): \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \] 2. Tính \(2\sin 60^\circ\): \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad 2\sin 60^\circ = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \] 3. Tính \(\tan 120^\circ\): \[ \tan 120^\circ = -\tan 60^\circ = -\sqrt{3} \] 4. Tính \(\cos 135^\circ\): \[ \cos 135^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] 5. Tính giá trị của \(A\): \[ A = \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \] b) Tính giá trị của biểu thức \( B = \tan 45^\circ \cdot \cot 135^\circ - \sin 30^\circ \cdot \cos 120^\circ - \sin 60^\circ \cdot \cos 150^\circ \) 1. Tính \(\tan 45^\circ\): \[ \tan 45^\circ = 1 \] 2. Tính \(\cot 135^\circ\): \[ \cot 135^\circ = -\cot 45^\circ = -1 \] 3. Tính \(\sin 30^\circ\): \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] 4. Tính \(\cos 120^\circ\): \[ \cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2} \] 5. Tính \(\sin 60^\circ\): \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 6. Tính \(\cos 150^\circ\): \[ \cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] 7. Tính giá trị của \(B\): \[ B = 1 \cdot (-1) - \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \] \[ B = -1 + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = -1 + 1 = 0 \] c) Tính giá trị của biểu thức \( C = \cos^2 5^\circ + \cos^2 25^\circ + \cos^2 45^\circ + \cos^2 65^\circ + \cos^2 85^\circ \) Sử dụng công thức \(\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\), ta có: 1. Tính \(\cos^2 5^\circ\): \[ \cos^2 5^\circ = \frac{1 + \cos 10^\circ}{2} \] 2. Tính \(\cos^2 25^\circ\): \[ \cos^2 25^\circ = \frac{1 + \cos 50^\circ}{2} \] 3. Tính \(\cos^2 45^\circ\): \[ \cos^2 45^\circ = \frac{1 + \cos 90^\circ}{2} = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2} \] 4. Tính \(\cos^2 65^\circ\): \[ \cos^2 65^\circ = \frac{1 + \cos 130^\circ}{2} \] 5. Tính \(\cos^2 85^\circ\): \[ \cos^2 85^\circ = \frac{1 + \cos 170^\circ}{2} \] Do tính chất đối xứng của các góc, ta có: \[ \cos 10^\circ = \cos 170^\circ, \quad \cos 50^\circ = \cos 130^\circ \] Vì vậy, tổng các giá trị \(\cos^2\) sẽ là: \[ C = \frac{1 + \cos 10^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 50^\circ}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1 + \cos 130^\circ}{2} + \frac{1 + \cos 170^\circ}{2} \] Tổng các giá trị \(\cos\) của các góc đối xứng sẽ triệt tiêu nhau, do đó: \[ C = \frac{5}{2} \] Vậy, giá trị của \(C\) là \(\frac{5}{2}\). Câu 8: Để tính giá trị của các biểu thức đã cho, chúng ta cần sử dụng các giá trị đặc biệt của các hàm lượng giác: - \(\sin 0^\circ = 0\) - \(\cos 0^\circ = 1\) - \(\sin 90^\circ = 1\) - \(\cos 90^\circ = 0\) - \(\sin 180^\circ = 0\) - \(\cos 180^\circ = -1\) Bây giờ, chúng ta sẽ tính từng biểu thức một cách chi tiết: a) Biểu thức: \(a\sin0^\circ + b\cos0^\circ + c\sin90^\circ\) - \(a\sin0^\circ = a \times 0 = 0\) - \(b\cos0^\circ = b \times 1 = b\) - \(c\sin90^\circ = c \times 1 = c\) Vậy, giá trị của biểu thức là: \(0 + b + c = b + c\). b) Biểu thức: \(a\cos90^\circ + b\sin90^\circ + c\sin180^\circ\) - \(a\cos90^\circ = a \times 0 = 0\) - \(b\sin90^\circ = b \times 1 = b\) - \(c\sin180^\circ = c \times 0 = 0\) Vậy, giá trị của biểu thức là: \(0 + b + 0 = b\). c) Biểu thức: \(a^2\sin90^\circ + b^2\cos90^\circ + c^2\cos180^\circ\) - \(a^2\sin90^\circ = a^2 \times 1 = a^2\) - \(b^2\cos90^\circ = b^2 \times 0 = 0\) - \(c^2\cos180^\circ = c^2 \times (-1) = -c^2\) Vậy, giá trị của biểu thức là: \(a^2 + 0 - c^2 = a^2 - c^2\). Tóm lại, các giá trị của các biểu thức là: - a) \(b + c\) - b) \(b\) - c) \(a^2 - c^2\) Câu 9: Để tính giá trị các biểu thức đã cho, chúng ta sẽ sử dụng các giá trị lượng giác cơ bản và các công thức lượng giác. a) Biểu thức \( A = a^2\sin90^\circ + b^2\cos90^\circ + c^2\cos180^\circ \) - Ta biết rằng \(\sin90^\circ = 1\), \(\cos90^\circ = 0\), và \(\cos180^\circ = -1\). - Thay các giá trị này vào biểu thức \( A \), ta có: \[ A = a^2 \cdot 1 + b^2 \cdot 0 + c^2 \cdot (-1) = a^2 - c^2 \] - Vậy, giá trị của biểu thức \( A \) là \( a^2 - c^2 \). b) Biểu thức \( B = 3 - \sin^2 90^\circ + 2\cos^2 60^\circ - 3\tan^2 45^\circ \) - Ta biết rằng \(\sin90^\circ = 1\), do đó \(\sin^2 90^\circ = 1\). - \(\cos60^\circ = \frac{1}{2}\), do đó \(\cos^2 60^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\). - \(\tan45^\circ = 1\), do đó \(\tan^2 45^\circ = 1\). - Thay các giá trị này vào biểu thức \( B \), ta có: \[ B = 3 - 1 + 2 \cdot \frac{1}{4} - 3 \cdot 1 = 3 - 1 + \frac{1}{2} - 3 \] \[ B = 2 + \frac{1}{2} - 3 = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \] - Vậy, giá trị của biểu thức \( B \) là \(-\frac{1}{2}\). c) Biểu thức \( C = \sin^2 45^\circ - 2\sin^2 50^\circ + 3\cos^2 45^\circ - 2\sin^2 40^\circ + 4\tan 55^\circ \cdot \tan 35^\circ \) - Ta biết rằng \(\sin45^\circ = \cos45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), do đó \(\sin^2 45^\circ = \cos^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}\). - Sử dụng công thức \(\tan(90^\circ - \theta) = \cot\theta\), ta có \(\tan 55^\circ = \cot 35^\circ\). - Do đó, \(\tan 55^\circ \cdot \tan 35^\circ = 1\). - Thay các giá trị này vào biểu thức \( C \), ta có: \[ C = \frac{1}{2} - 2\sin^2 50^\circ + \frac{3}{2} - 2\sin^2 40^\circ + 4 \cdot 1 \] \[ C = 2 - 2(\sin^2 50^\circ + \sin^2 40^\circ) + 4 \] - Sử dụng công thức \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), ta có \(\sin^2 50^\circ + \sin^2 40^\circ = 1\). - Do đó: \[ C = 2 - 2 \cdot 1 + 4 = 4 \] - Vậy, giá trị của biểu thức \( C \) là \( 4 \). Tóm lại, các giá trị của các biểu thức là: - \( A = a^2 - c^2 \) - \( B = -\frac{1}{2} \) - \( C = 4 \) Câu 19: Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác và tính chất của các góc đặc biệt. Dưới đây là lời giải chi tiết cho từng biểu thức: a) Tính $A = \sin^2 3^\circ + \sin^2 15^\circ + \sin^2 75^\circ + \sin^2 87^\circ$ Sử dụng công thức $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$, ta có: - $\sin^2 3^\circ = \frac{1 - \cos 6^\circ}{2}$ - $\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \cos 30^\circ}{2}$ - $\sin^2 75^\circ = \frac{1 - \cos 150^\circ}{2}$ - $\sin^2 87^\circ = \frac{1 - \cos 174^\circ}{2}$ Thay vào biểu thức $A$, ta có: \[ A = \frac{1 - \cos 6^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 30^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 150^\circ}{2} + \frac{1 - \cos 174^\circ}{2} \] \[ A = \frac{4 - (\cos 6^\circ + \cos 30^\circ + \cos 150^\circ + \cos 174^\circ)}{2} \] Sử dụng tính chất $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$, ta có: - $\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ$ - $\cos 174^\circ = -\cos 6^\circ$ Do đó: \[ \cos 6^\circ + \cos 174^\circ = 0 \] \[ \cos 30^\circ + \cos 150^\circ = 0 \] Vậy $A = \frac{4 - 0}{2} = 2$. b) Tính $B = \cos 0^\circ + \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \ldots + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ$ Sử dụng công thức tổng của dãy cosin: \[ B = \cos 0^\circ + \cos 20^\circ + \cos 40^\circ + \cos 60^\circ + \cos 80^\circ + \cos 100^\circ + \cos 120^\circ + \cos 140^\circ + \cos 160^\circ + \cos 180^\circ \] Ta biết rằng $\cos 180^\circ = -1$ và các cặp góc đối xứng qua $90^\circ$ có tổng bằng 0: - $\cos 20^\circ + \cos 160^\circ = 0$ - $\cos 40^\circ + \cos 140^\circ = 0$ - $\cos 60^\circ + \cos 120^\circ = 0$ - $\cos 80^\circ + \cos 100^\circ = 0$ Do đó: \[ B = \cos 0^\circ + (-1) = 1 - 1 = 0 \] c) Tính $C = \tan 5^\circ \tan 10^\circ \tan 15^\circ \ldots \tan 80^\circ \tan 85^\circ$ Sử dụng tính chất $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$, ta có: - $\tan 5^\circ \tan 85^\circ = 1$ - $\tan 10^\circ \tan 80^\circ = 1$ - $\tan 15^\circ \tan 75^\circ = 1$ - $\tan 20^\circ \tan 70^\circ = 1$ - $\tan 25^\circ \tan 65^\circ = 1$ - $\tan 30^\circ \tan 60^\circ = 1$ - $\tan 35^\circ \tan 55^\circ = 1$ - $\tan 40^\circ \tan 50^\circ = 1$ - $\tan 45^\circ = 1$ Do đó, tích của tất cả các giá trị này là: \[ C = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1 \] Vậy giá trị của $C$ là 1.