Giải (38-39)

Câu 38. Trước hết, ta nhận thấy rằng các lực căng $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ đôi một vuông góc với nhau và có độ lớn bằng nhau. Điều này có nghĩa là chúng tạo thành một hệ lực cân bằng trong không gian. Ta sẽ tính tổng lực căng của ba sợi dây. Vì các lực căng này đều có độ lớn bằng nhau và vuông góc với nhau, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras trong không gian để tính tổng lực căng. Gọi độ lớn của mỗi lực căng là $F$. Tổng lực căng của ba sợi dây là: \[ |\overrightarrow{F_{total}}| = \sqrt{F^2 + F^2 + F^2} = \sqrt{3F^2} = F\sqrt{3} \] Vì tấm sắt tròn cân bằng, tổng lực căng của ba sợi dây phải bằng trọng lượng của tấm sắt tròn. Do đó, ta có: \[ F\sqrt{3} = 2024\sqrt{3} \] Bây giờ, ta giải phương trình này để tìm $F$: \[ F = 2024 \] Vậy, lực căng của mỗi dây treo tấm sắt tròn là: \[ F = 2024 \text{ N} \] Đáp số: Lực căng của mỗi dây treo tấm sắt tròn là 2024 N. Câu 39. Trước tiên, ta cần tìm các vectơ $\overrightarrow{EA_1}$, $\overrightarrow{EA_2}$, và $\overrightarrow{EA_3}$. - $\overrightarrow{EA_1} = A_1 - E = (0 - 0, 1 - 0, 0 - 6) = (0, 1, -6)$ - $\overrightarrow{EA_2} = A_2 - E = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, -\frac{1}{2} - 0, 0 - 6\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, -6\right)$ - $\overrightarrow{EA_3} = A_3 - E = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, -\frac{1}{2} - 0, 0 - 6\right) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, -6\right)$ Tiếp theo, ta cần tìm các vectơ đơn vị của $\overrightarrow{EA_1}$, $\overrightarrow{EA_2}$, và $\overrightarrow{EA_3}$. - Độ dài của $\overrightarrow{EA_1}$: \[ |\overrightarrow{EA_1}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37} \] - Vectơ đơn vị của $\overrightarrow{EA_1}$: \[ \hat{u}_{EA_1} = \left(0, \frac{1}{\sqrt{37}}, -\frac{6}{\sqrt{37}}\right) \] - Độ dài của $\overrightarrow{EA_2}$: \[ |\overrightarrow{EA_2}| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + (-6)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 36} = \sqrt{37} \] - Vectơ đơn vị của $\overrightarrow{EA_2}$: \[ \hat{u}_{EA_2} = \left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{37}}, \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{37}}, -\frac{6}{\sqrt{37}}\right) = \left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}, -\frac{1}{2\sqrt{37}}, -\frac{6}{\sqrt{37}}\right) \] - Độ dài của $\overrightarrow{EA_3}$: \[ |\overrightarrow{EA_3}| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + (-6)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + 36} = \sqrt{37} \] - Vectơ đơn vị của $\overrightarrow{EA_3}$: \[ \hat{u}_{EA_3} = \left(\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{37}}, \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{37}}, -\frac{6}{\sqrt{37}}\right) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}, -\frac{1}{2\sqrt{37}}, -\frac{6}{\sqrt{37}}\right) \] Bây giờ, ta cần tìm các lực tác dụng lên giá đỡ $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, và $\overrightarrow{F_3}$. Tổng trọng lượng của chiếc máy là 300 N, do đó mỗi lực sẽ là một phần ba của tổng trọng lượng. - $\overrightarrow{F_1} = 100 \cdot \hat{u}_{EA_1} = 100 \left(0, \frac{1}{\sqrt{37}}, -\frac{6}{\sqrt{37}}\right) = \left(0, \frac{100}{\sqrt{37}}, -\frac{600}{\sqrt{37}}\right)$ - $\overrightarrow{F_2} = 100 \cdot \hat{u}_{EA_2} = 100 \left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}, -\frac{1}{2\sqrt{37}}, -\frac{6}{\sqrt{37}}\right) = \left(\frac{100\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}, -\frac{100}{2\sqrt{37}}, -\frac{600}{\sqrt{37}}\right) = \left(\frac{50\sqrt{3}}{\sqrt{37}}, -\frac{50}{\sqrt{37}}, -\frac{600}{\sqrt{37}}\right)$ - $\overrightarrow{F_3} = 100 \cdot \hat{u}_{EA_3} = 100 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}, -\frac{1}{2\sqrt{37}}, -\frac{6}{\sqrt{37}}\right) = \left(-\frac{100\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}, -\frac{100}{2\sqrt{37}}, -\frac{600}{\sqrt{37}}\right) = \left(-\frac{50\sqrt{3}}{\sqrt{37}}, -\frac{50}{\sqrt{37}}, -\frac{600}{\sqrt{37}}\right)$ Vậy, tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ là: \[ \overrightarrow{F_1} = \left(0, \frac{100}{\sqrt{37}}, -\frac{600}{\sqrt{37}}\right) \] \[ \overrightarrow{F_2} = \left(\frac{50\sqrt{3}}{\sqrt{37}}, -\frac{50}{\sqrt{37}}, -\frac{600}{\sqrt{37}}\right) \] \[ \overrightarrow{F_3} = \left(-\frac{50\sqrt{3}}{\sqrt{37}}, -\frac{50}{\sqrt{37}}, -\frac{600}{\sqrt{37}}\right) \]