4: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;3), B(2;5:4), C(0;2;0). a/ Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. tọa độ trung điểm M của BC. b/ Tính tích vô hưởng của hai véc tơ AB và AC. c/ Tìm...

a/ Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. tọa độ trung điểm M của BC. Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ: \[ G\left(\frac{1+2+0}{3}; \frac{2+5+2}{3}; \frac{3+4+0}{3}\right) = G\left(1; 3; \frac{7}{3}\right) \] Trung điểm M của đoạn thẳng BC có tọa độ: \[ M\left(\frac{2+0}{2}; \frac{5+2}{2}; \frac{4+0}{2}\right) = M\left(1; \frac{7}{2}; 2\right) \] b/ Tính tích vô hướng của hai véc tơ AB và AC. Tọa độ của véc tơ AB: \[ \overrightarrow{AB} = (2-1; 5-2; 4-3) = (1; 3; 1) \] Tọa độ của véc tơ AC: \[ \overrightarrow{AC} = (0-1; 2-2; 0-3) = (-1; 0; -3) \] Tích vô hướng của hai véc tơ AB và AC: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times (-1) + 3 \times 0 + 1 \times (-3) = -1 + 0 - 3 = -4 \] c/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. Trong hình bình hành, vectơ đối diện bằng nhau. Do đó: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] Tọa độ của véc tơ BC: \[ \overrightarrow{BC} = (0-2; 2-5; 0-4) = (-2; -3; -4) \] Tọa độ của điểm D: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \Rightarrow (x_D - 1; y_D - 2; z_D - 3) = (-2; -3; -4) \] \[ x_D - 1 = -2 \Rightarrow x_D = -1 \] \[ y_D - 2 = -3 \Rightarrow y_D = -1 \] \[ z_D - 3 = -4 \Rightarrow z_D = -1 \] Vậy tọa độ của điểm D là: \[ D(-1; -1; -1) \] d/ Xác định điểm N thuộc Oy sao cho AN vuông góc với BC. Điểm N thuộc trục Oy có tọa độ dạng (0; y; 0). Ta cần tìm y sao cho AN vuông góc với BC. Tọa độ của véc tơ AN: \[ \overrightarrow{AN} = (0-1; y-2; 0-3) = (-1; y-2; -3) \] Tọa độ của véc tơ BC đã tính ở trên là: \[ \overrightarrow{BC} = (-2; -3; -4) \] Để AN vuông góc với BC thì tích vô hướng của chúng phải bằng 0: \[ \overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1) \times (-2) + (y-2) \times (-3) + (-3) \times (-4) = 0 \] \[ 2 - 3(y-2) + 12 = 0 \] \[ 2 - 3y + 6 + 12 = 0 \] \[ 20 - 3y = 0 \] \[ 3y = 20 \] \[ y = \frac{20}{3} \] Vậy tọa độ của điểm N là: \[ N\left(0; \frac{20}{3}; 0\right) \]