mình muốn hỏi 3 câu này

Câu 67: Để tìm tọa độ điểm \(C\) trên trục \(Oy\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ điểm \(C\): Vì điểm \(C\) nằm trên trục \(Oy\), tọa độ của nó sẽ có dạng \(C(0; y; 0)\). 2. Tìm vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): - Vectơ \(\overrightarrow{AB}\) từ \(A(1;1;0)\) đến \(B(2;-1;3)\): \[ \overrightarrow{AB} = (2-1, -1-1, 3-0) = (1, -2, 3) \] - Vectơ \(\overrightarrow{AC}\) từ \(A(1;1;0)\) đến \(C(0; y; 0)\): \[ \overrightarrow{AC} = (0-1, y-1, 0-0) = (-1, y-1, 0) \] 3. Điều kiện tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\): Để tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và vectơ \(\overrightarrow{AC}\) phải vuông góc với nhau. Điều này có nghĩa là tích vô hướng của chúng phải bằng 0: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \] Tính tích vô hướng: \[ (1, -2, 3) \cdot (-1, y-1, 0) = 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot (y-1) + 3 \cdot 0 = -1 - 2(y-1) = -1 - 2y + 2 = 1 - 2y \] Đặt tích vô hướng bằng 0: \[ 1 - 2y = 0 \] Giải phương trình: \[ 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2} \] 4. Tọa độ điểm \(C\): Do đó, tọa độ của điểm \(C\) là: \[ C(0; \frac{1}{2}; 0) \] Vậy đáp án đúng là: D. \( (0; \frac{1}{2}; 0) \) Đáp số: \( (0; \frac{1}{2}; 0) \) Câu 68: Để tìm giá trị của tham số \( m \) sao cho \(\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \frac{4}{\sqrt{30}}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}\): \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot m = 2 + 2m \] 2. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\): \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{v}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{4 + m^2} \] 3. Áp dụng công thức tính cosin góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|} \] Thay các giá trị đã tính vào: \[ \frac{2 + 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{4 + m^2}} = \frac{4}{\sqrt{30}} \] 4. Giải phương trình: \[ \frac{2 + 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{4 + m^2}} = \frac{4}{\sqrt{30}} \] Nhân cả hai vế với \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{4 + m^2}\): \[ 2 + 2m = \frac{4 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{4 + m^2}}{\sqrt{30}} \] Rút gọn \(\sqrt{30}\) thành \(\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}\): \[ 2 + 2m = \frac{4 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{4 + m^2}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4 \cdot \sqrt{4 + m^2}}{\sqrt{5}} \] Nhân cả hai vế với \(\sqrt{5}\): \[ (2 + 2m) \cdot \sqrt{5} = 4 \cdot \sqrt{4 + m^2} \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (2 + 2m)^2 \cdot 5 = 16 \cdot (4 + m^2) \] Mở ngoặc và giản ước: \[ 4 + 8m + 4m^2 = \frac{16 \cdot (4 + m^2)}{5} \] Nhân cả hai vế với 5: \[ 20 + 40m + 20m^2 = 64 + 16m^2 \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ 20m^2 - 16m^2 + 40m + 20 - 64 = 0 \] \[ 4m^2 + 40m - 44 = 0 \] Chia cả phương trình cho 4: \[ m^2 + 10m - 11 = 0 \] 5. Giải phương trình bậc hai: \[ m^2 + 10m - 11 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = 10\), \(c = -11\): \[ m = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11)}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 44}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-10 \pm 12}{2} \] \[ m = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{-22}{2} = -11 \] Vậy giá trị của tham số \( m \) là \( m = 1 \) hoặc \( m = -11 \). Đáp án đúng là: B. \( m = 1 \) hoặc \( m = -11 \). Câu 69: Để tìm giá trị của $\cos(\overrightarrow{AC^\prime},\overrightarrow{B^\prime D^\prime})$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ các điểm còn lại: - Ta biết rằng trong hình hộp, các cạnh song song và bằng nhau. Do đó: - \(C\) có tọa độ \((2; -1; 2)\) vì \(C\) nằm trên đường thẳng song song với \(AB\) và \(AD\). - \(C'\) có tọa độ \((2; 0; 0)\) vì \(C'\) nằm trên đường thẳng song song với \(A'B'\) và \(A'D'\). - \(B'\) có tọa độ \((2; 1; 0)\) vì \(B'\) nằm trên đường thẳng song song với \(A'B'\) và \(AB\). - \(D'\) có tọa độ \((1; -1; -1)\) vì \(D'\) nằm trên đường thẳng song song với \(A'D'\) và \(AD\). 2. Tìm vectơ \(\overrightarrow{AC'}\) và \(\overrightarrow{B'D'}\): - \(\overrightarrow{AC'} = C' - A = (2; 0; 0) - (1; 0; 1) = (1; 0; -1)\) - \(\overrightarrow{B'D'} = D' - B' = (1; -1; -1) - (2; 1; 0) = (-1; -2; -1)\) 3. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AC'} \cdot \overrightarrow{B'D'}\): - \(\overrightarrow{AC'} \cdot \overrightarrow{B'D'} = (1; 0; -1) \cdot (-1; -2; -1) = 1 \times (-1) + 0 \times (-2) + (-1) \times (-1) = -1 + 0 + 1 = 0\) 4. Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow{AC'}\) và \(\overrightarrow{B'D'}\): - \(|\overrightarrow{AC'}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\) - \(|\overrightarrow{B'D'}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}\) 5. Tính giá trị của \(\cos(\overrightarrow{AC'}, \overrightarrow{B'D'})\): - \(\cos(\overrightarrow{AC'}, \overrightarrow{B'D'}) = \frac{\overrightarrow{AC'} \cdot \overrightarrow{B'D'}}{|\overrightarrow{AC'}| |\overrightarrow{B'D'}|} = \frac{0}{\sqrt{2} \times \sqrt{6}} = 0\) Do đó, giá trị của \(\cos(\overrightarrow{AC'}, \overrightarrow{B'D'})\) là \(0\). Đáp án đúng là: E. 0