giải bài tập Tính $\int\ln(\sqrt x)dx.$,Hãy chọn 1 đáp án:,$ extcircled A=x\ln(x)-x+C$,$ extcircled B=\frac12x\ln(x)-\frac12x+C$,$=x\ln(\sqrt x)-\frac23x^{\frac32}+C$,$ extcircled D=\frac12x\ln(\sqrt x)-\frac13x^{\frac32}+C$

Question

giải bài tập Tính $\int\ln(\sqrt x)dx.$,Hãy chọn 1 đáp án:,$	extcircled A=x\ln(x)-x+C$,$	extcircled B=\frac12x\ln(x)-\frac12x+C$,$=x\ln(\sqrt x)-\frac23x^{\frac32}+C$,$	extcircled D=\frac12x\ln(\sqrt x)-\frac13x^{\frac32}+C$

Accepted Answer

Để tính $\int \ln(\sqrt{x}) \, dx$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Bước 1: Xác định u và dv.
- Chọn $u = \ln(\sqrt{x})$
- Chọn $dv = dx$

Bước 2: Tính du và v.
- $du = \frac{d}{dx}[\ln(\sqrt{x})] \, dx = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \frac{1}{2x} \, dx$
- $v = \int dx = x$

Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
$$
\int \ln(\sqrt{x}) \, dx = x \ln(\sqrt{x}) - \int x \cdot \frac{1}{2x} \, dx
$$

Bước 4: Tính $\int x \cdot \frac{1}{2x} \, dx$.
$$
\int x \cdot \frac{1}{2x} \, dx = \int \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int dx = \frac{1}{2}x + C
$$

Bước 5: Kết hợp lại.
$$
\int \ln(\sqrt{x}) \, dx = x \ln(\sqrt{x}) - \left( \frac{1}{2}x + C \right)
$$
$$
= x \ln(\sqrt{x}) - \frac{1}{2}x + C
$$

Do đó, đáp án đúng là:
B) $\frac{1}{2}x \ln(x) - \frac{1}{2}x + C$

Đáp án: B) $\frac{1}{2}x \ln(x) - \frac{1}{2}x + C$