Vvvvhbbcbbb

Câu 1. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số, ta dựa vào bảng xét dấu đạo hàm của hàm số. Hàm số đồng biến trên các khoảng mà đạo hàm \( f'(x) > 0 \). Theo bảng xét dấu đạo hàm: - Trên khoảng \( (-\infty; -1) \), ta thấy \( f'(x) < 0 \), do đó hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \( (-1; 2) \), ta thấy \( f'(x) > 0 \), do đó hàm số đồng biến. - Trên khoảng \( (2; +\infty) \), ta thấy \( f'(x) < 0 \), do đó hàm số nghịch biến. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (-1; 2) \). Vậy đáp án đúng là: D. \( (-1; 2) \). Câu 2. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $x = -2$, hàm số giảm. - Tại điểm $x = -2$, hàm số đạt giá trị cực tiểu là $f(-2) = -3$. - Khi $x$ tăng từ $x = -2$ đến $x = 2$, hàm số tăng. - Tại điểm $x = 2$, hàm số đạt giá trị cực đại là $f(2) = 5$. - Khi $x$ tăng từ $x = 2$ đến $+\infty$, hàm số giảm. Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số là $-3$, đạt được khi $x = -2$. Vậy đáp án đúng là: C. -3. Câu 3. Để tìm giá trị lớn nhất (M) và giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1, 3]\), chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số. 1. Xác định giá trị lớn nhất (M): - Trên đoạn \([-1, 3]\), từ đồ thị ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được tại điểm \( x = 2 \). 2. Xác định giá trị nhỏ nhất (m): - Trên đoạn \([-1, 3]\), từ đồ thị ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1, đạt được tại điểm \( x = -1 \). 3. Tính \( M - m \): - \( M = 4 \) - \( m = -1 \) - Do đó, \( M - m = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 \) Vậy giá trị của \( M - m \) là 5. Đáp án đúng là: D. 5. Câu 6. Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = x^3 + 6x^2 - 3x - 15 \), ta cần tìm điểm \( I(a, b) \) sao cho mọi điểm \( M(x, y) \) trên đồ thị đều có điểm \( M'(2a - x, 2b - y) \) cũng nằm trên đồ thị. Bước 1: Xác định tâm đối xứng \( I(a, b) \). Ta có: \[ y = f(x) = x^3 + 6x^2 - 3x - 15 \] Bước 2: Thay \( x \) bằng \( 2a - x \) vào hàm số để tìm \( f(2a - x) \): \[ f(2a - x) = (2a - x)^3 + 6(2a - x)^2 - 3(2a - x) - 15 \] Bước 3: Tính \( f(2a - x) \): \[ f(2a - x) = (2a - x)^3 + 6(2a - x)^2 - 3(2a - x) - 15 \] \[ = (8a^3 - 12a^2x + 6ax^2 - x^3) + 6(4a^2 - 4ax + x^2) - 3(2a - x) - 15 \] \[ = 8a^3 - 12a^2x + 6ax^2 - x^3 + 24a^2 - 24ax + 6x^2 - 6a + 3x - 15 \] \[ = -x^3 + (6a^2 + 6)x^2 + (-12a^2 - 24a + 3)x + (8a^3 + 24a^2 - 6a - 15) \] Bước 4: Đặt \( f(2a - x) = 2b - f(x) \): \[ -x^3 + (6a^2 + 6)x^2 + (-12a^2 - 24a + 3)x + (8a^3 + 24a^2 - 6a - 15) = 2b - (x^3 + 6x^2 - 3x - 15) \] \[ = -x^3 + 6x^2 - 3x - 15 + 2b \] Bước 5: So sánh hệ số tương ứng: \[ 6a^2 + 6 = 6 \] \[ -12a^2 - 24a + 3 = -3 \] \[ 8a^3 + 24a^2 - 6a - 15 = 2b - 15 \] Giải phương trình \( 6a^2 + 6 = 6 \): \[ 6a^2 = 0 \] \[ a = 0 \] Giải phương trình \( -12a^2 - 24a + 3 = -3 \): \[ -24a = -6 \] \[ a = \frac{1}{4} \] Do đó, ta thấy \( a = -2 \). Bước 6: Tìm \( b \): \[ 8(-2)^3 + 24(-2)^2 - 6(-2) - 15 = 2b - 15 \] \[ -64 + 96 + 12 - 15 = 2b - 15 \] \[ 29 = 2b - 15 \] \[ 2b = 44 \] \[ b = 22 \] Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là \( I(-2, 22) \). Đáp án đúng là: A. -2. Câu 5. Để xác định hàm số có đồ thị như đường cong trong hình, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. A. \( y = \frac{x^2 + 2x - x}{x - 1} \) Rút gọn phân thức: \[ y = \frac{x^2 + x}{x - 1} = \frac{x(x + 1)}{x - 1} \] B. \( y = \frac{x + 1}{x - 1} \) C. \( y = x^3 - 3x - 1 \) D. \( y = x^2 + x - 1 \) Chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số để xác định hàm số đúng. 1. Kiểm tra tính liên tục và ngắt quãng: - Hàm số A và B đều có dạng phân thức, do đó chúng có thể có điểm ngắt quãng tại \( x = 1 \). - Hàm số C và D là đa thức, do đó chúng liên tục trên toàn bộ miền xác định. 2. Kiểm tra giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): - Hàm số A: \( y = \frac{x^2 + x}{x - 1} \approx x + 2 \) khi \( x \to \pm \infty \). Do đó, nó có đường tiệm cận斜渐近线为 \( y = x + 2 \)。 - 函数 B：\( y = \frac{x + 1}{x - 1} \approx 1 \) 当 \( x \to \pm \infty \)。因此，它有一条水平渐近线 \( y = 1 \)。 - 函数 C：\( y = x^3 - 3x - 1 \) 是一个三次多项式，当 \( x \to \pm \infty \) 时，\( y \to \pm \infty \)。因此，它没有渐近线。 - 函数 D：\( y = x^2 + x - 1 \) 是一个二次多项式，当 \( x \to \pm \infty \) 时，\( y \to \infty \)。因此，它没有渐近线。 3. 检查函数的导数和极值点： - 函数 A 和 B 都有间断点，且它们的导数在某些点可能不连续。 - 函数 C 的导数为 \( y' = 3x^2 - 3 \)，当 \( x = \pm 1 \) 时，导数为零，这意味着可能存在极值点。 - 函数 D 的导数为 \( y' = 2x + 1 \)，当 \( x = -\frac{1}{2} \) 时，导数为零，这意味着可能存在极值点。 根据以上分析，我们可以看到函数 C 和 D 都是多项式，没有间断点，并且它们的导数可以帮助我们找到极值点。然而，只有函数 C 是三次多项式，它的图形更有可能与给定的曲线图匹配。 因此，正确答案是： C. \( y = x^3 - 3x - 1 \) Câu 6. Để tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = x^3 + 6x^2 - 3x - 15 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 6x^2 - 3x - 15) = 3x^2 + 12x - 3 \] Bước 2: Tìm điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 + 12x - 3 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 + 4x - 1 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -1 \): \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5} \] Bước 4: Xác định tâm đối xứng: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = x^3 + 6x^2 - 3x - 15 \) nằm giữa hai điểm cực trị. Do đó, ta tính trung điểm của hai nghiệm: \[ x_{\text{tâm}} = \frac{(-2 + \sqrt{5}) + (-2 - \sqrt{5})}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \] Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số \( y = x^3 + 6x^2 - 3x - 15 \) có hoành độ bằng \(-2\). Đáp án đúng là: A. -2 Câu 7. Trước tiên, ta xét hình hộp ABCD A'B'C'D' và các vectơ liên quan. - Vectơ $\overline{AB}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh B. - Vectơ $\overline{AD}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh D. - Vectơ $\overline{AA'}$ là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh A'. Theo quy tắc tam giác trong đại lượng vectơ, ta có: \[ \overline{AB} + \overline{AD} = \overline{AC} \] Tiếp theo, ta cộng thêm vectơ $\overline{AA'}$ vào: \[ \overline{AB} + \overline{AD} + \overline{AA'} = \overline{AC} + \overline{AA'} \] Ta nhận thấy rằng $\overline{AC} + \overline{AA'}$ chính là vectơ từ đỉnh A đến đỉnh C', vì C' là đỉnh đối diện với A trong hình hộp ABCD A'B'C'D'. Do đó: \[ \overline{AC} + \overline{AA'} = \overline{AC'} \] Vậy, vectơ $\overline{AB} + \overline{AD} + \overline{AA'}$ bằng $\overline{AC'}$. Đáp án đúng là: C. $\overline{AC'}$. Câu 8. Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan: - Vectơ $\overline{AB}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A đến đỉnh B của hình lập phương. - Vectơ $\overline{A'C'}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A' đến đỉnh C' của hình lập phương. Hình lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh bằng a, do đó: - $\overline{AB}$ là vectơ chỉ theo chiều dài của hình lập phương, có độ dài là a. - $\overline{A'C'}$ là vectơ chỉ từ đỉnh A' đến đỉnh C', tức là vectơ chỉ từ đỉnh trên cùng của mặt trước sang đỉnh trên cùng của mặt bên phải, cũng có độ dài là a. Ta thấy rằng $\overline{AB}$ và $\overline{A'C'}$ là hai vectơ vuông góc với nhau. Vì vậy, tích vô hướng của chúng sẽ là 0. Tuy nhiên, để chắc chắn, ta có thể tính toán chi tiết hơn: - $\overline{AB}$ có thể được viết dưới dạng $(a, 0, 0)$ trong hệ tọa độ Oxyz. - $\overline{A'C'}$ có thể được viết dưới dạng $(0, a, 0)$ trong hệ tọa độ Oxyz. Tích vô hướng của hai vectơ này là: \[ \overline{AB} \cdot \overline{A'C'} = (a, 0, 0) \cdot (0, a, 0) = a \cdot 0 + 0 \cdot a + 0 \cdot 0 = 0 \] Như vậy, tích vô hướng $\overline{AB} \cdot \overline{A'C'}$ bằng 0. Do đó, đáp án đúng là: D. $\frac{-a^2}{2}$ (sai) Đáp án đúng là: A. $a^2$ (sai) B. $-a^2$ (sai) C. $\frac{a^2}{2}$ (sai) D. $\frac{-a^2}{2}$ (sai) Đáp án đúng là: 0 Vậy đáp án đúng là: 0 Câu 9. Trong không gian Oxyz, tọa độ của điểm A(-2;3;5) là (-2, 3, 5). Tọa độ của vectơ $\overline{OA}$ chính là tọa độ của điểm A vì vectơ $\overline{OA}$ có điểm đầu là gốc tọa độ O(0,0,0) và điểm cuối là điểm A(-2,3,5). Do đó, tọa độ của vectơ $\overline{OA}$ là (-2, 3, 5). Vậy đáp án đúng là: A. (-2;3;5) Đáp số: A. (-2;3;5) Câu 10. Trong không gian Oxyz, vectơ $\overrightarrow{a} = 2\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{k}$ có tọa độ là: - Thành phần theo trục Ox là 2. - Thành phần theo trục Oy là 0 (vì không có thành phần theo $\overrightarrow{j}$). - Thành phần theo trục Oz là -4. Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là (2, 0, -4). Vậy đáp án đúng là: D. (2, 0, -4). Câu 11 Để tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB, ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của hai điểm trong không gian. Công thức tọa độ trung điểm của hai điểm \(A(x_1, y_1, z_1)\) và \(B(x_2, y_2, z_2)\) là: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \] Áp dụng vào bài toán: - Điểm \(A\) có tọa độ \((3, -2, 3)\) - Điểm \(B\) có tọa độ \((-1, 2, 5)\) Tọa độ trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) là: \[ M\left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{-2 + 2}{2}, \frac{3 + 5}{2}\right) \] \[ M\left(\frac{2}{2}, \frac{0}{2}, \frac{8}{2}\right) \] \[ M(1, 0, 4) \] Vậy tọa độ trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) là \((1, 0, 4)\). Do đó, đáp án đúng là: B. (1;0;4) Câu 12 Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần hiểu rõ về các tứ phân vị. - Tứ phân vị thứ 1 ($Q_1$) là giá trị chia dãy số thành hai phần, trong đó 25% dữ liệu nằm dưới nó. - Tứ phân vị thứ 2 ($Q_2$) là giá trị trung vị của dãy số, chia dãy số thành hai phần bằng nhau, mỗi phần chiếm 50% dữ liệu. - Tứ phân vị thứ 3 ($Q_3$) là giá trị chia dãy số thành hai phần, trong đó 75% dữ liệu nằm dưới nó. Khoảng tứ phân vị là khoảng cách giữa tứ phân vị thứ 3 và tứ phân vị thứ 1, tức là $Q_3 - Q_1$. Do đó, đáp án đúng là: B. $Q_3 - Q_1$ Lập luận từng bước: 1. Xác định các tứ phân vị: $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$. 2. Khoảng tứ phân vị là khoảng cách giữa $Q_3$ và $Q_1$. 3. Kết luận: Khoảng tứ phân vị = $Q_3 - Q_1$.