Trước tiên, ta xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp SABCD.
a) Xác định tọa độ các đỉnh:
- Vì đáy ABCD là hình vuông cạnh 2, ta có:
- A(0, 0, 0)
- B(2, 0, 0)
- C(2, 2, 0)
- D(0, 2, 0)
- Ta biết rằng S nằm trên trục Oz và SA = SB = SC = SD = 2. Do đó, S có tọa độ (0, 0, h). Để tìm h, ta sử dụng tính chất cạnh SA = 2:
\[
SA = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0)^2 + (h-0)^2} = 2 \implies h = 2
\]
Vậy S(0, 0, 2).
b) Xác định tọa độ trọng tâm tam giác SAB:
- Trọng tâm G1 của tam giác SAB có tọa độ là trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh S, A và B:
\[
G1 = \left( \frac{0+0+2}{3}, \frac{0+0+0}{3}, \frac{2+0+0}{3} \right) = \left( \frac{2}{3}, 0, \frac{2}{3} \right)
\]
c) Xác định tọa độ trung điểm G2 của SC:
- Trung điểm G2 của đoạn thẳng SC có tọa độ là:
\[
G2 = \left( \frac{0+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{2+0}{2} \right) = (1, 1, 1)
\]
d) Xác định độ dài G1G2:
- Độ dài đoạn thẳng G1G2 được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
\[
G1G2 = \sqrt{\left(1 - \frac{2}{3}\right)^2 + (1 - 0)^2 + \left(1 - \frac{2}{3}\right)^2}
\]
\[
= \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2 + 1^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2}
\]
\[
= \sqrt{\frac{1}{9} + 1 + \frac{1}{9}}
\]
\[
= \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{9}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{11}{9}} = \frac{\sqrt{11}}{3}
\]
Vậy, tọa độ trọng tâm tam giác SAB là \( G1 \left( \frac{2}{3}, 0, \frac{2}{3} \right) \), tọa độ các đỉnh đã xác định ở trên, và độ dài G1G2 là \( \frac{\sqrt{11}}{3} \).