Bạn Dung cần gấp một hộp quà có dạng hình lăng trụ tứ giác đều với thể tích bằng 8 dm3 , diện tích toàn phần của hộp quà đó có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu dm2

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đại lượng liên quan. 2. Lập phương trình thể tích và diện tích toàn phần. 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần. Bước 1: Xác định các đại lượng liên quan - Gọi cạnh đáy của hình lăng trụ tứ giác đều là \( a \) (dm). - Gọi chiều cao của hình lăng trụ là \( h \) (dm). Bước 2: Lập phương trình thể tích và diện tích toàn phần - Thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều là: \[ V = a^2 \cdot h \] Theo đề bài, thể tích bằng 8 dm³, nên ta có: \[ a^2 \cdot h = 8 \] - Diện tích toàn phần của hình lăng trụ tứ giác đều là: \[ S_{\text{toàn phần}} = 2 \cdot a^2 + 4 \cdot a \cdot h \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần - Từ phương trình thể tích, ta có: \[ h = \frac{8}{a^2} \] - Thay \( h \) vào công thức diện tích toàn phần: \[ S_{\text{toàn phần}} = 2 \cdot a^2 + 4 \cdot a \cdot \left( \frac{8}{a^2} \right) \] \[ S_{\text{toàn phần}} = 2 \cdot a^2 + \frac{32}{a} \] - Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( S_{\text{toàn phần}} \), ta tính đạo hàm của \( S_{\text{toàn phần}} \) theo \( a \): \[ \frac{dS_{\text{toàn phần}}}{da} = 4a - \frac{32}{a^2} \] - Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu: \[ 4a - \frac{32}{a^2} = 0 \] \[ 4a = \frac{32}{a^2} \] \[ 4a^3 = 32 \] \[ a^3 = 8 \] \[ a = 2 \] - Thay \( a = 2 \) vào phương trình thể tích để tìm \( h \): \[ h = \frac{8}{2^2} = \frac{8}{4} = 2 \] - Thay \( a = 2 \) và \( h = 2 \) vào công thức diện tích toàn phần: \[ S_{\text{toàn phần}} = 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 \] \[ S_{\text{toàn phần}} = 2 \cdot 4 + 4 \cdot 4 \] \[ S_{\text{toàn phần}} = 8 + 16 \] \[ S_{\text{toàn phần}} = 24 \] Vậy diện tích toàn phần của hộp quà đó có giá trị nhỏ nhất là 24 dm².