Giúp mình với!

Câu 3. Để xác định phương trình của parabol \( y = ax^2 + bx + c \), ta cần xác định các hệ số \( a \), \( b \), và \( c \). Ta sẽ dựa vào các điểm đã cho trên đồ thị để tìm ra các hệ số này. 1. Xác định đỉnh của parabol: - Đỉnh của parabol nằm tại điểm \( (1, -2) \). 2. Xác định các điểm khác trên đồ thị: - Parabol đi qua điểm \( (0, -1) \). 3. Áp dụng công thức đỉnh của parabol: - Công thức đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là \( x = -\frac{b}{2a} \). - Vì đỉnh nằm tại \( (1, -2) \), ta có: \[ 1 = -\frac{b}{2a} \] \[ b = -2a \] 4. Áp dụng điểm \( (0, -1) \) vào phương trình parabol: - Thay \( x = 0 \) và \( y = -1 \) vào phương trình \( y = ax^2 + bx + c \): \[ -1 = a(0)^2 + b(0) + c \] \[ c = -1 \] 5. Áp dụng điểm \( (1, -2) \) vào phương trình parabol: - Thay \( x = 1 \) và \( y = -2 \) vào phương trình \( y = ax^2 + bx + c \): \[ -2 = a(1)^2 + b(1) + c \] \[ -2 = a + b - 1 \] \[ -2 = a + (-2a) - 1 \] \[ -2 = -a - 1 \] \[ -1 = -a \] \[ a = 1 \] 6. Tìm giá trị của \( b \): - Từ \( b = -2a \): \[ b = -2(1) \] \[ b = -2 \] 7. Viết phương trình của parabol: - Với \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = -1 \), phương trình của parabol là: \[ y = x^2 - 2x - 1 \] Vậy phương trình của parabol là \( y = x^2 - 2x - 1 \). Đáp án đúng là: D. \( y = x^2 - 2x - 1 \). Câu 4. Áp dụng định lý余弦定理，我们有： \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \] 代入已知的边长值： \[ 7^2 = 4^2 + 9^2 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot \cos A \] \[ 49 = 16 + 81 - 72 \cdot \cos A \] \[ 49 = 97 - 72 \cdot \cos A \] \[ 72 \cdot \cos A = 97 - 49 \] \[ 72 \cdot \cos A = 48 \] \[ \cos A = \frac{48}{72} \] \[ \cos A = \frac{2}{3} \] 因此，正确答案是： A. $\cos A = \frac{2}{3}$ Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định lượng protein từ thịt bò và cá rô phi mà người đàn ông cần tiêu thụ mỗi ngày. - Số lượng protein từ thịt bò: 26 gam/lạng. - Số lượng protein từ cá rô phi: 20 gam/lạng. - Tổng lượng protein cần thiết mỗi ngày: 52 gam. Gọi x là số lượng thịt bò (lạng) và y là số lượng cá rô phi (lạng) mà người đàn ông ăn trong một ngày. Lượng protein từ thịt bò sẽ là: 26x (gam). Lượng protein từ cá rô phi sẽ là: 20y (gam). Tổng lượng protein từ cả hai loại thực phẩm phải lớn hơn hoặc bằng 52 gam: \[ 26x + 20y \geq 52 \] Chúng ta có thể chia cả hai vế của bất phương trình này cho 2 để đơn giản hóa: \[ 13x + 10y \geq 26 \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( 13x + 10y \geq 26 \) Đáp số: C. \( 13x + 10y \geq 26 \) Câu 6. Để xác định điểm M trên đoạn thẳng AB sao cho \(\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm biểu thức của \(\overrightarrow{MA}\) và \(\overrightarrow{MB}\): - Gọi M là điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AB. - Ta có \(\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{BM}\). 2. Thay vào phương trình đã cho: \[ \overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \] Thay \(\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{BM}\): \[ -\overrightarrow{AM} + 3(-\overrightarrow{BM}) = \overrightarrow{0} \] Điều này có nghĩa là: \[ -\overrightarrow{AM} - 3\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{0} \] 3. Tìm tỉ lệ giữa AM và BM: - Ta có \(\overrightarrow{AM} = k \cdot \overrightarrow{BM}\) với \(k\) là một hằng số. - Thay vào phương trình: \[ -k \cdot \overrightarrow{BM} - 3\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{0} \] Điều này có nghĩa là: \[ -(k + 3)\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{0} \] Do đó: \[ k + 3 = 0 \implies k = -3 \] 4. Xác định vị trí của M: - Điều này có nghĩa là \(\overrightarrow{AM} = -3 \cdot \overrightarrow{BM}\). - Do đó, M nằm trên đoạn thẳng AB sao cho AM = 3BM. 5. Kiểm tra các hình vẽ: - Trong các hình vẽ, ta thấy rằng chỉ có hình 2 thỏa mãn điều kiện AM = 3BM. Vậy điểm M được xác định đúng trong hình vẽ là Hình 2. Đáp án: A. Hình 2. Câu 7. Để tìm giá trị của \(a\) sao cho \(A \cap B \neq \emptyset\), ta cần đảm bảo rằng khoảng \(B\) có ít nhất một điểm chung với đoạn \(A = [0, 5]\). Tập \(B = (2a, 3a + 1]\) với điều kiện \(a > -1\). Để \(A \cap B \neq \emptyset\), ta cần: - \(2a < 5\) (để \(B\) có thể giao với \(A\)) - \(3a + 1 > 0\) (để \(B\) có thể giao với \(A\)) Ta sẽ giải từng bất phương trình này: 1. \(2a < 5\) \[ a < \frac{5}{2} \] 2. \(3a + 1 > 0\) \[ 3a > -1 \] \[ a > -\frac{1}{3} \] Do đó, để \(A \cap B \neq \emptyset\), ta cần: \[ -\frac{1}{3} < a < \frac{5}{2} \] Vậy đáp án đúng là: D. \( -\frac{1}{3} \leq a < \frac{5}{2} \) Đáp án: D. \( -\frac{1}{3} \leq a < \frac{5}{2} \) Câu 8. Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương, nhưng hai vectơ $2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a} + (x-1)\overrightarrow{b}$ cùng phương. Điều này có nghĩa là tồn tại một số thực $k$ sao cho: \[ 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} = k(\overrightarrow{a} + (x-1)\overrightarrow{b}) \] Ta sẽ mở rộng biểu thức bên phải: \[ 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + k(x-1)\overrightarrow{b} \] Bây giờ, ta nhóm các vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ lại với nhau: \[ 2\overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} = k\overrightarrow{a} + k(x-1)\overrightarrow{b} \] So sánh hệ số của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ từ cả hai vế, ta có: \[ 2 = k \] \[ -3 = k(x-1) \] Thay $k = 2$ vào phương trình thứ hai: \[ -3 = 2(x-1) \] Giải phương trình này: \[ -3 = 2x - 2 \] \[ -3 + 2 = 2x \] \[ -1 = 2x \] \[ x = -\frac{1}{2} \] Vậy giá trị của $x$ là $-\frac{1}{2}$. Đáp án đúng là: D. $-\frac{1}{2}$. Câu 9. Để hàm số \( f(x) = ax^2 + bx + c \) luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần kiểm tra các điều kiện sau: 1. Điều kiện về hệ số \( a \): - Nếu \( a > 0 \), parabol sẽ mở ra phía trên và không thể luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0. - Do đó, \( a \) phải nhỏ hơn 0 (\( a < 0 \)) để parabol mở ra phía dưới. 2. Điều kiện về biệt thức \( \Delta \): - Để hàm số luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0, parabol không được cắt trục hoành (không có điểm giao với trục hoành) hoặc chỉ tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất. - Điều này tương đương với biệt thức \( \Delta \leq 0 \). Tóm lại, điều kiện để \( f(x) \leq 0, \forall x \in \mathbb{R} \) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \end{array} \right. \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( \left\{ \begin{array}{l} a < 0 \\ \Delta \leq 0 \end{array} \right. \) Đáp án: C. Câu 10. Để hai parabol \( y = x^2 + 2x + 1 \) và \( y = 2x^2 + m + 3 \) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện để hai parabol cắt nhau: - Ta đặt \( x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + m + 3 \) - Điều này dẫn đến phương trình: \[ x^2 + 2x + 1 = 2x^2 + m + 3 \] \[ x^2 + 2x + 1 - 2x^2 - m - 3 = 0 \] \[ -x^2 + 2x - 2 - m = 0 \] \[ x^2 - 2x + m + 2 = 0 \] 2. Xét phương trình bậc hai \( x^2 - 2x + m + 2 = 0 \): - Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ \Delta > 0 \] \[ (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 2) > 0 \] \[ 4 - 4(m + 2) > 0 \] \[ 4 - 4m - 8 > 0 \] \[ -4m - 4 > 0 \] \[ -4m > 4 \] \[ m < -1 \] 3. Xét điều kiện để hai nghiệm nhỏ hơn 3: - Gọi hai nghiệm của phương trình là \( x_1 \) và \( x_2 \). Ta cần \( x_1 < 3 \) và \( x_2 < 3 \). - Tổng và tích của hai nghiệm: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = m + 2 \] - Để cả hai nghiệm nhỏ hơn 3, ta cần: \[ x_1 < 3 \quad \text{và} \quad x_2 < 3 \] - Vì tổng của hai nghiệm là 2, nên nếu một nghiệm nhỏ hơn 3 thì nghiệm còn lại cũng sẽ nhỏ hơn 3. 4. Xác định giá trị nguyên của \( m \): - Từ điều kiện \( m < -1 \), ta thấy các giá trị nguyên của \( m \) thỏa mãn là: \[ m = -2, -3, -4, \ldots \] Do đó, số giá trị nguyên của tham số \( m \) để hai parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 là vô số. Đáp số: Vô số giá trị nguyên của \( m \).