giúp với ạ bhh

Câu 1: Để tìm mốt của dấu hiệu nhiệt độ trung bình hàng tháng trong một năm, chúng ta cần xác định giá trị xuất hiện nhiều nhất trong dữ liệu. Dưới đây là dữ liệu nhiệt độ trung bình hàng tháng: - Tháng 1: 16 - Tháng 2: 20 - Tháng 3: 25 - Tháng 4: 22 - Tháng 5: 30 - Tháng 6: 30 - Tháng 7: 25 - Tháng 8: 25 - Tháng 9: 22 - Tháng 10: 20 - Tháng 11: 15 - Tháng 12: 28 Bây giờ, chúng ta sẽ đếm số lần xuất hiện của mỗi giá trị: - 16: 1 lần - 20: 2 lần - 25: 3 lần - 22: 2 lần - 30: 2 lần - 15: 1 lần - 28: 1 lần Như vậy, giá trị 25 xuất hiện nhiều nhất (3 lần). Do đó, mốt của dấu hiệu là 25. Đáp án đúng là: B. 25. Câu 2: Để xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l} 2x + 3y - 6 < 0 \\ x \geq 0 \\ 2x - 3y - 1 \leq 0 \end{array}\right.$, ta sẽ kiểm tra từng điểm đã cho xem chúng có thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ hay không. A. Điểm $B(0;2)$: - Thay vào $2x + 3y - 6 < 0$: $2(0) + 3(2) - 6 = 0$, không thỏa mãn. - Thay vào $x \geq 0$: $0 \geq 0$, thỏa mãn. - Thay vào $2x - 3y - 1 \leq 0$: $2(0) - 3(2) - 1 = -7 \leq 0$, thỏa mãn. Do đó, điểm $B(0;2)$ không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. B. Điểm $D(0;-\frac{1}{3})$: - Thay vào $2x + 3y - 6 < 0$: $2(0) + 3(-\frac{1}{3}) - 6 = -7 < 0$, thỏa mãn. - Thay vào $x \geq 0$: $0 \geq 0$, thỏa mãn. - Thay vào $2x - 3y - 1 \leq 0$: $2(0) - 3(-\frac{1}{3}) - 1 = 0 \leq 0$, thỏa mãn. Do đó, điểm $D(0;-\frac{1}{3})$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. C. Điểm $C(-1;3)$: - Thay vào $2x + 3y - 6 < 0$: $2(-1) + 3(3) - 6 = 1 < 0$, thỏa mãn. - Thay vào $x \geq 0$: $-1 \geq 0$, không thỏa mãn. - Thay vào $2x - 3y - 1 \leq 0$: $2(-1) - 3(3) - 1 = -12 \leq 0$, thỏa mãn. Do đó, điểm $C(-1;3)$ không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. D. Điểm $A(1;2)$: - Thay vào $2x + 3y - 6 < 0$: $2(1) + 3(2) - 6 = 2 < 0$, không thỏa mãn. - Thay vào $x \geq 0$: $1 \geq 0$, thỏa mãn. - Thay vào $2x - 3y - 1 \leq 0$: $2(1) - 3(2) - 1 = -5 \leq 0$, thỏa mãn. Do đó, điểm $A(1;2)$ không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình. Kết luận: Miền nghiệm của hệ bất phương trình chứa điểm $D(0;-\frac{1}{3})$. Đáp án đúng là: B. $D(0;-\frac{1}{3})$. Câu 3: Để viết lại tập hợp \( X = \{x \in \mathbb{R} | 2x^2 - 5x + 3 = 0\} \) dưới dạng liệt kê, chúng ta cần giải phương trình bậc hai \( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \). Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai \( 2x^2 - 5x + 3 = 0 \). Phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) có nghiệm được tính bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó, \( a = 2 \), \( b = -5 \), và \( c = 3 \). Bước 2: Tính delta (\( \Delta \)): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 \] Bước 3: Tính các nghiệm: \[ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] \[ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] Bước 4: Viết tập hợp nghiệm: \[ X = \left\{1, \frac{3}{2}\right\} \] Vậy đáp án đúng là: A. \( X = \left\{1, \frac{3}{2}\right\} \). Câu 4: Để xác định số lượng các véctơ không bằng không (\(\neq 0\)) được thành lập từ các đỉnh của tứ giác ABCD, chúng ta sẽ xem xét từng trường hợp điểm đầu và điểm cuối của các véctơ. Tứ giác ABCD có 4 đỉnh: A, B, C, và D. Mỗi đỉnh có thể là điểm đầu hoặc điểm cuối của một véctơ. Tuy nhiên, véctơ từ một đỉnh đến chính nó sẽ là véctơ không, do đó chúng ta loại trừ các trường hợp này. Cụ thể: - Từ đỉnh A, chúng ta có thể tạo ra các véctơ: \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\) - Từ đỉnh B, chúng ta có thể tạo ra các véctơ: \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{BD}\) - Từ đỉnh C, chúng ta có thể tạo ra các véctơ: \(\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{CB}\), \(\overrightarrow{CD}\) - Từ đỉnh D, chúng ta có thể tạo ra các véctơ: \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{DB}\), \(\overrightarrow{DC}\) Như vậy, tổng cộng chúng ta có: \[ 3 + 3 + 3 + 3 = 12 \] Vậy có 12 véctơ không bằng không được thành lập từ các đỉnh của tứ giác ABCD. Đáp án đúng là: A. 12. Câu 5: Để tính tổng \( f(\sqrt{17}) + f(-3) \), chúng ta cần xác định giá trị của \( f(x) \) tại các điểm \( x = \sqrt{17} \) và \( x = -3 \). 1. Xác định giá trị của \( f(\sqrt{17}) \): - Vì \( \sqrt{17} > 1 \), nên ta sử dụng phần định nghĩa của hàm số \( y = f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \) khi \( x \geq 1 \). - Do đó, \( f(\sqrt{17}) = \sqrt{(\sqrt{17})^2 - 1} = \sqrt{17 - 1} = \sqrt{16} = 4 \). 2. Xác định giá trị của \( f(-3) \): - Vì \( -3 < 1 \), nên ta sử dụng phần định nghĩa của hàm số \( y = f(x) = -2(x - 1) \) khi \( x < 1 \). - Do đó, \( f(-3) = -2((-3) - 1) = -2(-4) = 8 \). 3. Tính tổng \( f(\sqrt{17}) + f(-3) \): - \( f(\sqrt{17}) + f(-3) = 4 + 8 = 12 \). Vậy tổng \( f(\sqrt{17}) + f(-3) \) bằng 12. Đáp án đúng là: B. 12. Câu 6: Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc sai nhưng không thể vừa đúng vừa sai. Chúng ta sẽ kiểm tra từng câu để xác định xem chúng có phải là mệnh đề hay không. A. "x là số vô tỉ." - Đây là một câu mở rộng, không phải mệnh đề vì nó phụ thuộc vào giá trị của x. Nếu x là số vô tỉ thì câu này đúng, nếu x không phải số vô tỉ thì câu này sai. B. "Hôm nay trời lạnh quá!" - Đây là một câu cảm thán, không phải mệnh đề vì nó không khẳng định một điều gì đó đúng hoặc sai. C. $\frac{3}{5} \in \mathbb{N}$. - Đây là một mệnh đề vì nó khẳng định rằng phân số $\frac{3}{5}$ thuộc tập hợp số tự nhiên, và câu này là sai. D. $3 + 1 > 10$. - Đây là một mệnh đề vì nó khẳng định rằng tổng của 3 và 1 lớn hơn 10, và câu này là sai. Như vậy, câu B "Hôm nay trời lạnh quá!" không phải là mệnh đề. Đáp án: B. Hôm nay trời lạnh quá! Câu 7: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( T = 3x - 2y - 4 \) trong miền (S) được xác định bởi hệ bất phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y - 1 \leq 0 \\ x + 4y + 9 \geq 0 \\ x - 2y + 3 \geq 0 \end{array} \right. \] Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đường thẳng giới hạn miền (S): - Đường thẳng \( x - y - 1 = 0 \) - Đường thẳng \( x + 4y + 9 = 0 \) - Đường thẳng \( x - 2y + 3 = 0 \) 2. Tìm giao điểm của các đường thẳng: - Giao điểm của \( x - y - 1 = 0 \) và \( x + 4y + 9 = 0 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y = 1 \\ x + 4y = -9 \end{array} \right. \] Từ \( x - y = 1 \Rightarrow x = y + 1 \). Thay vào \( x + 4y = -9 \): \[ y + 1 + 4y = -9 \Rightarrow 5y = -10 \Rightarrow y = -2 \Rightarrow x = -1 \] Giao điểm là \( (-1, -2) \). - Giao điểm của \( x - y - 1 = 0 \) và \( x - 2y + 3 = 0 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} x - y = 1 \\ x - 2y = -3 \end{array} \right. \] Từ \( x - y = 1 \Rightarrow x = y + 1 \). Thay vào \( x - 2y = -3 \): \[ y + 1 - 2y = -3 \Rightarrow -y = -4 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow x = 5 \] Giao điểm là \( (5, 4) \). - Giao điểm của \( x + 4y + 9 = 0 \) và \( x - 2y + 3 = 0 \): \[ \left\{ \begin{array}{l} x + 4y = -9 \\ x - 2y = -3 \end{array} \right. \] Từ \( x - 2y = -3 \Rightarrow x = 2y - 3 \). Thay vào \( x + 4y = -9 \): \[ 2y - 3 + 4y = -9 \Rightarrow 6y = -6 \Rightarrow y = -1 \Rightarrow x = -5 \] Giao điểm là \( (-5, -1) \). 3. Kiểm tra các giao điểm trong miền (S): - Điểm \( (-1, -2) \): \[ \left\{ \begin{array}{l} -1 - (-2) - 1 = 0 \leq 0 \\ -1 + 4(-2) + 9 = -1 - 8 + 9 = 0 \geq 0 \\ -1 - 2(-2) + 3 = -1 + 4 + 3 = 6 \geq 0 \end{array} \right. \] Điểm này nằm trong miền (S). - Điểm \( (5, 4) \): \[ \left\{ \begin{array}{l} 5 - 4 - 1 = 0 \leq 0 \\ 5 + 4(4) + 9 = 5 + 16 + 9 = 30 \geq 0 \\ 5 - 2(4) + 3 = 5 - 8 + 3 = 0 \geq 0 \end{array} \right. \] Điểm này nằm trong miền (S). - Điểm \( (-5, -1) \): \[ \left\{ \begin{array}{l} -5 - (-1) - 1 = -5 + 1 - 1 = -5 \leq 0 \\ -5 + 4(-1) + 9 = -5 - 4 + 9 = 0 \geq 0 \\ -5 - 2(-1) + 3 = -5 + 2 + 3 = 0 \geq 0 \end{array} \right. \] Điểm này nằm trong miền (S). 4. Tính giá trị của biểu thức \( T = 3x - 2y - 4 \) tại các giao điểm: - Tại điểm \( (-1, -2) \): \[ T = 3(-1) - 2(-2) - 4 = -3 + 4 - 4 = -3 \] - Tại điểm \( (5, 4) \): \[ T = 3(5) - 2(4) - 4 = 15 - 8 - 4 = 3 \] - Tại điểm \( (-5, -1) \): \[ T = 3(-5) - 2(-1) - 4 = -15 + 2 - 4 = -17 \] Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( T = 3x - 2y - 4 \) trong miền (S) là \(-17\), đạt được khi \( (x, y) = (-5, -1) \). Đáp án: B. (-5, -1) Câu 8: Để tính phương sai của mẫu số liệu trên, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6 \] Bước 2: Tính bình phương của hiệu giữa mỗi giá trị và trung bình cộng: \[ (2 - 6)^2 = (-4)^2 = 16 \] \[ (4 - 6)^2 = (-2)^2 = 4 \] \[ (6 - 6)^2 = 0^2 = 0 \] \[ (8 - 6)^2 = 2^2 = 4 \] \[ (10 - 6)^2 = 4^2 = 16 \] Bước 3: Tính tổng của các bình phương hiệu vừa tìm được: \[ 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40 \] Bước 4: Chia tổng này cho số lượng giá trị trong mẫu số liệu: \[ s^2 = \frac{40}{5} = 8 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu trên là 8. Đáp án đúng là: D. 8. Câu 9: Để tìm giá trị gần đúng của $\sqrt{8}$ chính xác đến hàng phần trăm, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tính giá trị của $\sqrt{8}$: - Sử dụng máy tính bỏ túi, ta có $\sqrt{8} \approx 2,828427125$. 2. Làm tròn đến hàng phần trăm: - Hàng phần trăm là hàng thứ hai sau dấu phẩy thập phân. - Ta thấy rằng giá trị của $\sqrt{8}$ là 2,828427125. - Hàng phần nghìn (hàng thứ ba sau dấu phẩy thập phân) là 8, lớn hơn hoặc bằng 5, do đó ta làm tròn lên. 3. Kết luận: - Sau khi làm tròn lên, giá trị gần đúng của $\sqrt{8}$ chính xác đến hàng phần trăm là 2,83. Vậy đáp án đúng là: D. 2,83. Câu 10: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất và công thức lượng giác cơ bản. Trước tiên, ta nhận thấy rằng: \[ \sin(90^\circ - x) = \cos(x) \] \[ \cos(90^\circ - x) = \sin(x) \] Áp dụng các tính chất này, ta có: \[ \sin(55^\circ) = \cos(35^\circ) \] \[ \sin(115^\circ) = \sin(180^\circ - 65^\circ) = \sin(65^\circ) \] Bây giờ, ta thay các giá trị này vào biểu thức: \[ 3\sin^2(35^\circ) + 3\sin^2(55^\circ) - 2\cos^2(65^\circ) - 2\sin^2(115^\circ) + 5\tan(20^\circ)\tan(70^\circ) \] Thay các giá trị đã tìm được: \[ 3\sin^2(35^\circ) + 3\cos^2(35^\circ) - 2\cos^2(65^\circ) - 2\sin^2(65^\circ) + 5\tan(20^\circ)\tan(70^\circ) \] Ta biết rằng: \[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \] Do đó: \[ 3(\sin^2(35^\circ) + \cos^2(35^\circ)) - 2(\cos^2(65^\circ) + \sin^2(65^\circ)) + 5\tan(20^\circ)\tan(70^\circ) \] \[ = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 5\tan(20^\circ)\tan(70^\circ) \] \[ = 3 - 2 + 5\tan(20^\circ)\tan(70^\circ) \] \[ = 1 + 5\tan(20^\circ)\tan(70^\circ) \] Tiếp theo, ta cần tính giá trị của \( \tan(20^\circ)\tan(70^\circ) \). Ta biết rằng: \[ \tan(70^\circ) = \cot(20^\circ) = \frac{1}{\tan(20^\circ)} \] Do đó: \[ \tan(20^\circ)\tan(70^\circ) = \tan(20^\circ) \cdot \frac{1}{\tan(20^\circ)} = 1 \] Vậy: \[ 1 + 5 \cdot 1 = 1 + 5 = 6 \] Vậy giá trị của biểu thức là: \[ \boxed{6} \] Câu 11: Trước tiên, ta biết rằng \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\) và \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\). Điều này có nghĩa là góc \(\alpha\) nằm trong khoảng giữa 90° và 180°, tức là ở góc phần tư thứ hai. Trong góc phần tư thứ hai, \(\sin \alpha\) dương và \(\cos \alpha\) âm. Ta sẽ tính \(\cos \alpha\) bằng công thức Pythagoras: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Thay \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\) vào: \[ \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{1}{16} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} \] \[ \cos^2 \alpha = \frac{15}{16} \] Vì \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ hai, \(\cos \alpha\) sẽ là âm: \[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{15}{16}} = -\frac{\sqrt{15}}{4} \] Bây giờ, ta tính \(\cot \alpha\): \[ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \] Thay \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4}\) và \(\sin \alpha = \frac{1}{4}\): \[ \cot \alpha = \frac{-\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = -\sqrt{15} \] Vậy giá trị của \(\cot \alpha\) là \(-\sqrt{15}\). Đáp án đúng là: B. \(-\sqrt{15}\). Câu 12: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong tam giác đều ABC, các cạnh AB, BC và CA đều bằng nhau và bằng 2a. Ta sẽ tính giá trị của $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}|$. Bước 1: Xác định các vectơ. - $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ điểm A đến điểm B. - $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ điểm A đến điểm C. Bước 2: Tính tổng của hai vectơ. - Ta biết rằng trong tam giác đều, góc giữa hai cạnh là 60°. Do đó, góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cũng là 60°. Bước 3: Áp dụng công thức tính độ dài tổng của hai vectơ. - Công thức tính độ dài tổng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là: \[ |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2 + 2|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos(\theta)} \] Trong đó, $\theta$ là góc giữa hai vectơ. Áp dụng vào bài toán: - $|\overrightarrow{AB}| = 2a$ - $|\overrightarrow{AC}| = 2a$ - Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là 60°. Do đó: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2 + 2(2a)(2a)\cos(60^\circ)} \] Bước 4: Thay giá trị cos(60°) = $\frac{1}{2}$ vào công thức: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2 + 2(2a)(2a)\left(\frac{1}{2}\right)} \] \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{4a^2 + 4a^2 + 4a^2} \] \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = \sqrt{12a^2} \] \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}| = 2\sqrt{3}a \] Vậy đáp án đúng là: B. $2\sqrt{3}a$.