Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 4. Trước tiên, ta cần xác định góc A của tam giác ABC: \[ \widehat{A} = 180^\circ - \widehat{B} - \widehat{C} = 180^\circ - 15^\circ - 30^\circ = 135^\circ \] Sử dụng định lý sin trong tam giác ABC: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} \] \[ \frac{AB}{\sin 30^\circ} = \frac{12}{\sin 135^\circ} \] Biết rằng $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ và $\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ta có: \[ \frac{AB}{\frac{1}{2}} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ AB = 12 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 12 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \] Vậy mệnh đề a) đúng. Tiếp theo, ta tính độ dài đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC: \[ AH = AB \cdot \sin \widehat{B} \] \[ AH = 6\sqrt{2} \cdot \sin 15^\circ \] Biết rằng $\sin 15^\circ = \sin (45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ \[ AH = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{6\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{6(\sqrt{12} - 2)}{4} = \frac{6(2\sqrt{3} - 2)}{4} = \frac{12\sqrt{3} - 12}{4} = 3\sqrt{3} - 3 \] Vậy mệnh đề b) sai vì $AH \neq \frac{23}{11}$. Tiếp theo, ta tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC: \[ r = \frac{A}{s} \] Trong đó, A là diện tích tam giác và s là nửa chu vi tam giác. Diện tích tam giác ABC: \[ A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \widehat{B} \] \[ A = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 12 \cdot \sin 15^\circ \] \[ A = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 3 \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 9\sqrt{2} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \] \[ A = 9(\sqrt{12} - 2) = 9(2\sqrt{3} - 2) = 18\sqrt{3} - 18 \] Nửa chu vi tam giác: \[ s = \frac{AB + BC + AC}{2} \] Ta cần tính AC trước: \[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \] \[ \frac{AC}{\sin 15^\circ} = \frac{12}{\sin 135^\circ} \] \[ AC = 12 \cdot \frac{\sin 15^\circ}{\sin 135^\circ} = 12 \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3} - 1}{1} = 6(\sqrt{3} - 1) \] Nửa chu vi: \[ s = \frac{6\sqrt{2} + 12 + 6(\sqrt{3} - 1)}{2} = \frac{6\sqrt{2} + 12 + 6\sqrt{3} - 6}{2} = \frac{6\sqrt{2} + 6 + 6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{2} + 3 + 3\sqrt{3} \] Bán kính đường tròn nội tiếp: \[ r = \frac{18\sqrt{3} - 18}{3\sqrt{2} + 3 + 3\sqrt{3}} \] Vậy mệnh đề c) sai vì $r \neq 2,6$. Cuối cùng, ta kiểm tra mệnh đề d): \[ R = \frac{a}{\sin A} \] Trong đó, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, a là cạnh đối diện với góc A. Vậy mệnh đề d) đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a) đúng. - Mệnh đề b) sai. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) đúng. Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Venn để minh họa và tính toán số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Lý. 1. Tổng số học sinh lớp 10A là 40 học sinh. 2. Số học sinh giỏi Toán là 10 học sinh. 3. Số học sinh giỏi Lý là 15 học sinh. 4. Số học sinh không giỏi môn học nào trong hai môn Toán, Lý là 22 học sinh. Bước 1: Tính số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Lý: Số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Lý là: \[ 40 - 22 = 18 \text{ học sinh} \] Bước 2: Tính số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Lý: Gọi số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Lý là \( x \). Theo sơ đồ Venn, tổng số học sinh giỏi Toán và giỏi Lý là: \[ 10 + 15 - x = 18 \] Giải phương trình: \[ 25 - x = 18 \] \[ x = 25 - 18 \] \[ x = 7 \] Vậy số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Lý là 7 học sinh. Đáp số: 7 học sinh Câu 2. Để cặp số (2m;1) là nghiệm của bất phương trình \(x - 2y < 4\), ta thay \(x = 2m\) và \(y = 1\) vào bất phương trình: \[2m - 2 \cdot 1 < 4\] \[2m - 2 < 4\] \[2m < 6\] \[m < 3\] Vì \(m\) là số nguyên dương, nên các giá trị của \(m\) thỏa mãn điều kiện trên là \(m = 1\) và \(m = 2\). Vậy có 2 giá trị của \(m\) nguyên dương để cặp số (2m;1) là nghiệm của bất phương trình \(x - 2y < 4\). Câu 3. Để tính \( P = |\sin x - \cos x| \) từ điều kiện \(\sin x + \cos x = \frac{1}{5}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm \((\sin x + \cos x)^2\): \[ (\sin x + \cos x)^2 = \left( \frac{1}{5} \right)^2 = \frac{1}{25} \] 2. Tính \(\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x\): \[ \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{25} \] Biết rằng \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), ta có: \[ 1 + 2 \sin x \cos x = \frac{1}{25} \] 3. Giải ra \(2 \sin x \cos x\): \[ 2 \sin x \cos x = \frac{1}{25} - 1 = \frac{1}{25} - \frac{25}{25} = -\frac{24}{25} \] 4. Tìm \((\sin x - \cos x)^2\): \[ (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x \] Thay \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) và \(2 \sin x \cos x = -\frac{24}{25}\): \[ (\sin x - \cos x)^2 = 1 - (-\frac{24}{25}) = 1 + \frac{24}{25} = \frac{25}{25} + \frac{24}{25} = \frac{49}{25} \] 5. Tính \(|\sin x - \cos x|\): \[ |\sin x - \cos x| = \sqrt{\frac{49}{25}} = \frac{7}{5} \] Vậy giá trị của \( P = |\sin x - \cos x| \) là: \[ P = \frac{7}{5} \] Câu 4. Để hàm số $y = \sqrt{(m+10)x^2 - 2(m-2)x + 1}$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$, biểu thức dưới dấu căn $(m+10)x^2 - 2(m-2)x + 1$ phải lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi $x \in \mathbb{R}$. Ta xét các trường hợp sau: 1. Trường hợp 1: $m + 10 = 0$ - Khi đó $m = -10$, biểu thức trở thành $-2(-10-2)x + 1 = 24x + 1$. - Biểu thức này không thể lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi $x \in \mathbb{R}$, vì nó là một đường thẳng có hệ số góc dương. 2. Trường hợp 2: $m + 10 \neq 0$ - Biểu thức $(m+10)x^2 - 2(m-2)x + 1$ là một tam thức bậc hai. Để tam thức này lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta cần: - Hệ số của $x^2$ phải dương: $m + 10 > 0 \Rightarrow m > -10$. - Đạo hàm tam thức phải nhỏ hơn hoặc bằng 0: $\Delta' = (m-2)^2 - (m+10) \leq 0$. Ta tính $\Delta'$: \[ \Delta' = (m-2)^2 - (m+10) = m^2 - 4m + 4 - m - 10 = m^2 - 5m - 6 \] Để $\Delta' \leq 0$, ta giải bất phương trình: \[ m^2 - 5m - 6 \leq 0 \] Ta tìm nghiệm của phương trình $m^2 - 5m - 6 = 0$: \[ m = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{2} = \frac{5 \pm 7}{2} \] \[ m_1 = 6, \quad m_2 = -1 \] Bất phương trình $m^2 - 5m - 6 \leq 0$ có nghiệm trong khoảng: \[ -1 \leq m \leq 6 \] Kết hợp với điều kiện $m > -10$, ta có: \[ -1 \leq m \leq 6 \] Do đó, các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn là: $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Vậy có 8 giá trị nguyên của $m$ để hàm số có tập xác định $D = \mathbb{R}$. Câu 5. Trước hết, chúng ta sẽ xác định phương trình của đường parabol. Ta giả sử rằng đường parabol có dạng \( y = ax^2 + bx + c \). Chúng ta biết rằng đường parabol đi qua ba điểm: (-2,25, 0), (2,25, 0) và (1, 1,8). Bước 1: Xác định các điều kiện từ các điểm đã cho: - Điểm (-2,25, 0): \( 0 = a(-2,25)^2 + b(-2,25) + c \) - Điểm (2,25, 0): \( 0 = a(2,25)^2 + b(2,25) + c \) - Điểm (1, 1,8): \( 1,8 = a(1)^2 + b(1) + c \) Bước 2: Giải hệ phương trình: Từ hai điểm đầu tiên, ta thấy rằng: \[ a(-2,25)^2 + b(-2,25) + c = 0 \] \[ a(2,25)^2 + b(2,25) + c = 0 \] Do đó, ta có: \[ a(5,0625) - b(2,25) + c = 0 \] \[ a(5,0625) + b(2,25) + c = 0 \] Cộng hai phương trình này lại: \[ 2a(5,0625) + 2c = 0 \] \[ a(5,0625) + c = 0 \] \[ c = -a(5,0625) \] Thay \( c = -a(5,0625) \) vào phương trình thứ ba: \[ 1,8 = a(1) + b(1) - a(5,0625) \] \[ 1,8 = a + b - a(5,0625) \] \[ 1,8 = a + b - 5,0625a \] \[ 1,8 = b - 4,0625a \] Bước 3: Tìm \( a \) và \( b \): Ta có: \[ b = 1,8 + 4,0625a \] Thay vào phương trình \( a(5,0625) - b(2,25) + c = 0 \): \[ a(5,0625) - (1,8 + 4,0625a)(2,25) - a(5,0625) = 0 \] \[ - (1,8 + 4,0625a)(2,25) = 0 \] \[ - 4,0625a(2,25) = 1,8(2,25) \] \[ - 9,15625a = 4,05 \] \[ a = -\frac{4,05}{9,15625} \approx -0,442 \] Sau đó, ta tìm \( b \): \[ b = 1,8 + 4,0625(-0,442) \approx 1,8 - 1,796 \approx 0,004 \] Cuối cùng, ta tìm \( c \): \[ c = -a(5,0625) \approx -(-0,442)(5,0625) \approx 2,238 \] Bước 4: Xác định chiều cao cổng: Phương trình của đường parabol là: \[ y = -0,442x^2 + 0,004x + 2,238 \] Để tìm chiều cao cổng, ta cần tìm giá trị lớn nhất của \( y \). Ta biết rằng đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) nằm tại \( x = -\frac{b}{2a} \): \[ x = -\frac{0,004}{2(-0,442)} \approx 0,0044 \] Thay \( x = 0,0044 \) vào phương trình: \[ y = -0,442(0,0044)^2 + 0,004(0,0044) + 2,238 \approx 2,238 \] Vậy chiều cao cổng là khoảng 2,238m, làm tròn đến hàng phần mười là 2,2m. Đáp số: Chiều cao cổng là 2,2m. Câu 6. Để tính chiều cao của tòa nhà, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác và tỉ số lượng giác. Gọi chiều cao của tòa nhà là \( h \) (m). Trước tiên, ta xác định các đoạn thẳng liên quan: - Chiều cao từ mặt đất lên vị trí người quan sát là 8 m. - Chiều cao từ vị trí người quan sát lên đỉnh của cột ăng-ten là \( 6 - (h - 8) = 14 - h \) (m). - Góc nhìn thấy đỉnh của cột ăng-ten là \( 50^\circ \). - Góc nhìn thấy chân của cột ăng-ten là \( 40^\circ \). Ta sẽ sử dụng tỉ số lượng giác của góc để tìm khoảng cách từ vị trí người quan sát đến chân của cột ăng-ten và đỉnh của cột ăng-ten. 1. Xác định khoảng cách từ vị trí người quan sát đến chân của cột ăng-ten: \[ \tan(40^\circ) = \frac{h - 8}{d} \] \[ d = \frac{h - 8}{\tan(40^\circ)} \] 2. Xác định khoảng cách từ vị trí người quan sát đến đỉnh của cột ăng-ten: \[ \tan(50^\circ) = \frac{14 - h}{d} \] \[ d = \frac{14 - h}{\tan(50^\circ)} \] Bây giờ, ta có hai biểu thức cho \( d \): \[ \frac{h - 8}{\tan(40^\circ)} = \frac{14 - h}{\tan(50^\circ)} \] Thay các giá trị của \( \tan(40^\circ) \) và \( \tan(50^\circ) \) vào: \[ \frac{h - 8}{0.8391} = \frac{14 - h}{1.1918} \] Nhân cả hai vế với \( 0.8391 \times 1.1918 \) để loại bỏ mẫu số: \[ (h - 8) \times 1.1918 = (14 - h) \times 0.8391 \] Phân phối và thu gọn: \[ 1.1918h - 9.5344 = 11.7474 - 0.8391h \] Di chuyển tất cả các hạng tử liên quan đến \( h \) sang một vế: \[ 1.1918h + 0.8391h = 11.7474 + 9.5344 \] \[ 2.0309h = 21.2818 \] Giải phương trình này để tìm \( h \): \[ h = \frac{21.2818}{2.0309} \approx 10.48 \] Vậy chiều cao của tòa nhà là khoảng 10.48 m. Câu 1. Để xác định hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chúng ta cần kiểm tra từng hệ đã cho: A. $\left\{\begin{array}lx-1>3\\y+3\leq\pi\end{array}\right.$ - Phương trình đầu tiên là $x - 1 > 3$, đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn. - Phương trình thứ hai là $y + 3 \leq \pi$, đây cũng là bất phương trình bậc nhất một ẩn. B. $\left\{\begin{array}lx+y\leq14\\-3< x\leq5\end{array}\right.$ - Phương trình đầu tiên là $x + y \leq 14$, đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. - Phương trình thứ hai là $-3 < x \leq 5$, đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn. C. $\left\{\begin{array}lx-3y=4\\2x+y=12\end{array}\right.$ - Phương trình đầu tiên là $x - 3y = 4$, đây là phương trình bậc nhất hai ẩn. - Phương trình thứ hai là $2x + y = 12$, đây cũng là phương trình bậc nhất hai ẩn. D. $\left\{\begin{array}lx-y< 4\\x+2y\leq15\end{array}\right.$ - Phương trình đầu tiên là $x - y < 4$, đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. - Phương trình thứ hai là $x + 2y \leq 15$, đây cũng là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Như vậy, trong các hệ đã cho, chỉ có hệ C là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Đáp án đúng là: C. $\left\{\begin{array}lx-3y=4\\2x+y=12\end{array}\right.$ Câu 2. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) trên đoạn \([0;3]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 2x - 2 \] 2. Tìm các điểm cực trị trong khoảng mở \((0, 3)\): \[ f'(x) = 0 \implies 2x - 2 = 0 \implies x = 1 \] Điểm \( x = 1 \) nằm trong khoảng \((0, 3)\). 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 + 3 = 3 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] - Tại \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 + 3 = 9 - 6 + 3 = 6 \] 4. So sánh các giá trị đã tính: - \( f(0) = 3 \) - \( f(1) = 2 \) - \( f(3) = 6 \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là 2, đạt được khi \( x = 1 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \) trên đoạn \([0;3]\) là 2. Đáp án đúng là: C. 2. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Venn để dễ dàng hơn trong việc tính toán. - Số học sinh biết chơi bóng đá là 20 học sinh. - Số học sinh biết chơi bóng bàn là 15 học sinh. - Số học sinh biết chơi cả hai môn bóng bàn và bóng đá là 10 học sinh. - Số học sinh không biết chơi môn nào là 5 học sinh. Bây giờ, chúng ta sẽ tính số học sinh biết chơi ít nhất một trong hai môn bóng đá hoặc bóng bàn: Số học sinh biết chơi ít nhất một môn là: \[ 20 + 15 - 10 = 25 \] Vậy tổng số học sinh của lớp 10A là: \[ 25 + 5 = 30 \] Đáp án đúng là: A. 30 Đáp số: 30 học sinh.