Giair giups minhf

Câu 14: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Tính trung bình cộng (tỉ lệ tốt nghiệp trung bình) Trung bình cộng của các giá trị được tính bằng cách lấy tổng các giá trị rồi chia cho số lượng giá trị. Các giá trị tỉ lệ tốt nghiệp: \[ 98,82, 97,46, 99,19, 98,90, 98,65, 79,51, 85,06, 86,18, 98,68, 99,23, 99,93, 99,34, 99,74, 93,08, 97,34, 97,82 \] Tổng các giá trị: \[ 98,82 + 97,46 + 99,19 + 98,90 + 98,65 + 79,51 + 85,06 + 86,18 + 98,68 + 99,23 + 99,93 + 99,34 + 99,74 + 93,08 + 97,34 + 97,82 = 2007,56 \] Số lượng giá trị: \[ 21 \] Trung bình cộng: \[ \frac{2007,56}{21} = 95,5976 \approx 95,60\% \] Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất Giá trị lớn nhất trong dãy số là: \[ 99,93\% \] Bước 3: Tính phương sai ($s^2$) Phương sai được tính bằng cách lấy trung bình cộng của bình phương các khoảng cách giữa mỗi giá trị và trung bình cộng. Bước 1: Tính bình phương các khoảng cách: \[ (98,82 - 95,60)^2, (97,46 - 95,60)^2, ..., (97,82 - 95,60)^2 \] Bước 2: Tính tổng các bình phương khoảng cách: \[ (3,22)^2 + (1,86)^2 + ... + (2,22)^2 \] Bước 3: Chia tổng này cho số lượng giá trị trừ đi 1: \[ s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \] Bước 4: Tính độ lệch chuẩn ($s$) Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{s^2} \] Kết luận a) Tỉ lệ tốt nghiệp trung bình: 95,60% b) Tỉ lệ tốt nghiệp cao nhất: 99,93% c) Phương sai: $s^2 = 36,03$ d) Độ lệch chuẩn: $s = 6,09$ Đáp số: a) 95,60% b) 99,93% c) $s^2 = 36,03$ d) $s = 6,09$ Câu 15: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần dữ liệu và lập luận dựa trên các thông tin đã cho. a) Số bàn thắng trung bình của đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Thái Lan là không bằng nhau: - Để biết liệu số bàn thắng trung bình của hai đội có bằng nhau hay không, chúng ta cần biết tổng số bàn thắng và số trận đấu của mỗi đội. Tuy nhiên, câu hỏi không cung cấp đủ thông tin để tính toán trực tiếp. Do đó, chúng ta sẽ dựa vào các thông tin khác để suy luận. b) Xét mẫu số liệu về số bàn thắng của đội tuyển Việt Nam có độ lệch chuẩn là \( s_1 = 1,354 \): - Độ lệch chuẩn \( s_1 = 1,354 \) cho thấy sự phân tán của số bàn thắng của đội tuyển Việt Nam. Một độ lệch chuẩn thấp hơn cho thấy các giá trị gần với giá trị trung bình hơn. c) Xét mẫu số liệu về số bàn thắng của đội tuyển Thái Lan có phương sai là \( s^2_2 = 5,5 \): - Phương sai \( s^2_2 = 5,5 \) cho thấy mức độ phân tán của số bàn thắng của đội tuyển Thái Lan. Phương sai càng cao, độ lệch chuẩn cũng sẽ càng cao, cho thấy sự biến động lớn hơn. d) Khả năng ghi bàn của đội tuyển Thái Lan có tính ổn định hơn so với đội tuyển Việt Nam: - Độ lệch chuẩn của đội tuyển Thái Lan là \( s_2 = \sqrt{5,5} \approx 2,345 \). So sánh với độ lệch chuẩn của đội tuyển Việt Nam \( s_1 = 1,354 \), ta thấy rằng độ lệch chuẩn của đội tuyển Thái Lan lớn hơn. Điều này cho thấy số bàn thắng của đội tuyển Thái Lan có sự biến động lớn hơn, tức là không ổn định hơn so với đội tuyển Việt Nam. Lập luận: - Độ lệch chuẩn của đội tuyển Việt Nam là \( s_1 = 1,354 \), trong khi độ lệch chuẩn của đội tuyển Thái Lan là \( s_2 \approx 2,345 \). - Vì độ lệch chuẩn của đội tuyển Thái Lan lớn hơn độ lệch chuẩn của đội tuyển Việt Nam, nên khả năng ghi bàn của đội tuyển Thái Lan không ổn định hơn so với đội tuyển Việt Nam. Kết luận: Khả năng ghi bàn của đội tuyển Thái Lan không ổn định hơn so với đội tuyển Việt Nam. Câu 1: Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong tam giác đều ABC, đường trung tuyến AM cũng là đường cao và đường phân giác của góc A. Do đó, M là trung điểm của BC, và ta có BM = MC = $\frac{a}{2}$. Bây giờ, ta sẽ tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM}|$. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} \] Vì tam giác ABC đều, nên $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$. Ta có thể viết lại như sau: \[ \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) \] \[ = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \] \[ = \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \] Bây giờ, ta cần tính độ dài của vectơ này. Ta sử dụng công thức tính độ dài vectơ tổng: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM}| = \left| \frac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} \right| \] Ta biết rằng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ tạo với nhau một góc 120° (vì tam giác đều). Độ dài của mỗi vectơ là a. Ta sử dụng công thức tính độ dài vectơ tổng: \[ |\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}| = \sqrt{|\overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2 + 2|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos(\theta)} \] Áp dụng vào bài toán: \[ |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM}| = \sqrt{\left( \frac{3}{2}a \right)^2 + \left( \frac{1}{2}a \right)^2 + 2 \cdot \frac{3}{2}a \cdot \frac{1}{2}a \cdot \cos(120^\circ)} \] \[ = \sqrt{\frac{9}{4}a^2 + \frac{1}{4}a^2 + 2 \cdot \frac{3}{2}a \cdot \frac{1}{2}a \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)} \] \[ = \sqrt{\frac{9}{4}a^2 + \frac{1}{4}a^2 - \frac{3}{4}a^2} \] \[ = \sqrt{\frac{7}{4}a^2} \] \[ = \frac{\sqrt{7}}{2}a \] Vậy, giá trị của $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM}|$ là $\frac{\sqrt{7}}{2}a$. Câu 2: Trước tiên, ta xác định tọa độ các điểm trong hình vuông ABCD: - Điểm A có tọa độ (0, 0) - Điểm B có tọa độ (2a√2, 0) - Điểm C có tọa độ (2a√2, 2a√2) - Điểm D có tọa độ (0, 2a√2) Tiếp theo, xác định tọa độ của điểm M, trung điểm của đoạn thẳng AB: - Tọa độ của M là \(\left( \frac{0 + 2a\sqrt{2}}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (a\sqrt{2}, 0)\). Bây giờ, xác định tọa độ của điểm N trên đoạn AC sao cho \(AN = 3NC\): - Độ dài đoạn AC là \(2a\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4a\). - Vì \(AN = 3NC\), nên \(AN = 3NC\) và \(NC = \frac{4a}{4} = a\). - Do đó, \(AN = 3a\). Tọa độ của N trên đoạn AC sẽ là: - Điểm N chia đoạn AC thành tỉ lệ 3:1, vậy tọa độ của N là \(\left( \frac{3 \times 2a\sqrt{2} + 1 \times 0}{4}, \frac{3 \times 0 + 1 \times 2a\sqrt{2}}{4} \right) = \left( \frac{6a\sqrt{2}}{4}, \frac{2a\sqrt{2}}{4} \right) = \left( \frac{3a\sqrt{2}}{2}, \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)\). Bây giờ, ta tính các vectơ \(\overrightarrow{DN}\) và \(\overrightarrow{MN}\): - \(\overrightarrow{DN} = \left( \frac{3a\sqrt{2}}{2} - 0, \frac{a\sqrt{2}}{2} - 2a\sqrt{2} \right) = \left( \frac{3a\sqrt{2}}{2}, -\frac{3a\sqrt{2}}{2} \right)\). - \(\overrightarrow{MN} = \left( \frac{3a\sqrt{2}}{2} - a\sqrt{2}, \frac{a\sqrt{2}}{2} - 0 \right) = \left( \frac{a\sqrt{2}}{2}, \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)\). Cuối cùng, ta tính tích vô hướng \(\overrightarrow{DN} \cdot \overrightarrow{MN}\): \[ \overrightarrow{DN} \cdot \overrightarrow{MN} = \left( \frac{3a\sqrt{2}}{2} \right) \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right) + \left( -\frac{3a\sqrt{2}}{2} \right) \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{3a^2 \cdot 2}{4} - \frac{3a^2 \cdot 2}{4} = 0. \] Vậy, \(\overrightarrow{DN} \cdot \overrightarrow{MN} = 0\). Câu 3: a) Ta có: \[ \overrightarrow{AC} = (-1 - 1; -2 - 2) = (-2; -4) \] \[ \overrightarrow{BE} = (a - 3; 1 - 4) = (a - 3; -3) \] Để $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BE}$ cùng phương, ta cần: \[ \frac{-2}{a - 3} = \frac{-4}{-3} \] Giải phương trình này: \[ \frac{-2}{a - 3} = \frac{4}{3} \] Nhân cả hai vế với $(a - 3)$ và 3: \[ -2 \cdot 3 = 4 \cdot (a - 3) \] \[ -6 = 4a - 12 \] Di chuyển 12 sang vế trái: \[ -6 + 12 = 4a \] \[ 6 = 4a \] Chia cả hai vế cho 4: \[ a = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \] Vậy $a = \frac{3}{2}$. b) Với $a = \frac{3}{2}$, ta có: \[ E\left(\frac{3}{2}; 1\right) \] Ta tính $\overrightarrow{AE}$: \[ \overrightarrow{AE} = \left(\frac{3}{2} - 1; 1 - 2\right) = \left(\frac{1}{2}; -1\right) \] Biểu thị $\overrightarrow{AE}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1; 4 - 2) = (2; 2) \] \[ \overrightarrow{AC} = (-2; -4) \] Giả sử $\overrightarrow{AE} = x \overrightarrow{AB} + y \overrightarrow{AC}$, ta có: \[ \left(\frac{1}{2}; -1\right) = x (2; 2) + y (-2; -4) \] Tách thành hai phương trình: \[ \frac{1}{2} = 2x - 2y \] \[ -1 = 2x - 4y \] Giải hệ phương trình này: \[ 2x - 2y = \frac{1}{2} \quad \text{(1)} \] \[ 2x - 4y = -1 \quad \text{(2)} \] Trừ phương trình (1) từ phương trình (2): \[ (2x - 4y) - (2x - 2y) = -1 - \frac{1}{2} \] \[ -2y = -\frac{3}{2} \] \[ y = \frac{3}{4} \] Thay $y = \frac{3}{4}$ vào phương trình (1): \[ 2x - 2 \left(\frac{3}{4}\right) = \frac{1}{2} \] \[ 2x - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \] \[ 2x = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \] \[ 2x = 2 \] \[ x = 1 \] Vậy: \[ \overrightarrow{AE} = 1 \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AC} \] Đáp số: a) $a = \frac{3}{2}$ b) $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \frac{3}{4} \overrightarrow{AC}$ Câu 4: a) Tìm số trung bình và số trung vị của mẫu số liệu: - Số trung bình (trung vị) của mẫu số liệu là: \(\bar{x} = \frac{163 + 165 + 159 + 172 + 167 + 168 + 192 + 161 + 164 + 174 + 170 + 166}{12} = 167.5\) - Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: 159, 161, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 170, 172, 174, 192 - Số trung vị là giá trị ở giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp. Vì có 12 giá trị, nên số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở vị trí thứ 6 và thứ 7: Số trung vị = \(\frac{166 + 167}{2} = 166.5\) b) Tìm độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị và giá trị bất thường của mẫu số liệu: - Độ lệch chuẩn: Bước 1: Tính phương sai: Phương sai (\(s^2\)) = \(\frac{(159 - 167.5)^2 + (161 - 167.5)^2 + ... + (192 - 167.5)^2}{12}\) = \(\frac{(-8.5)^2 + (-6.5)^2 + (-4.5)^2 + (-3.5)^2 + (-2.5)^2 + (-1.5)^2 + 0.5^2 + 0.5^2 + 2.5^2 + 4.5^2 + 6.5^2 + 24.5^2}{12}\) = \(\frac{72.25 + 42.25 + 20.25 + 12.25 + 6.25 + 2.25 + 0.25 + 0.25 + 6.25 + 20.25 + 42.25 + 600.25}{12}\) = \(\frac{764.5}{12}\) = 63.7083 Bước 2: Tính độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn (\(s\)) = \(\sqrt{63.7083}\) = 7.98 - Khoảng tứ phân vị: Bước 1: Tìm Q1 (tứ phân vị thứ nhất): Q1 là giá trị ở vị trí \(\frac{12 + 1}{4} = 3.25\), tức là trung bình cộng của giá trị ở vị trí thứ 3 và thứ 4: Q1 = \(\frac{163 + 164}{2} = 163.5\) Bước 2: Tìm Q3 (tứ phân vị thứ ba): Q3 là giá trị ở vị trí \(3 \times \frac{12 + 1}{4} = 9.75\), tức là trung bình cộng của giá trị ở vị trí thứ 9 và thứ 10: Q3 = \(\frac{170 + 172}{2} = 171\) Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 171 - 163.5 = 7.5 - Giá trị bất thường: Giá trị bất thường là giá trị nằm ngoài khoảng từ Q1 - 1.5 × khoảng tứ phân vị đến Q3 + 1.5 × khoảng tứ phân vị. Q1 - 1.5 × khoảng tứ phân vị = 163.5 - 1.5 × 7.5 = 153.75 Q3 + 1.5 × khoảng tứ phân vị = 171 + 1.5 × 7.5 = 182.25 Vì 192 > 182.25, nên 192 là giá trị bất thường. Đáp số: a) Số trung bình: 167.5 Số trung vị: 166.5 b) Độ lệch chuẩn: 7.98 Khoảng tứ phân vị: 7.5 Giá trị bất thường: 192 Câu 5: a) Tìm số trung bình và số trung vị của mẫu số liệu: - Số trung bình: \[ \bar{x} = \frac{8 + 19 \times 10 + 20 \times 15 + 21 \times 17 + 22 \times 3}{46} = \frac{8 + 190 + 300 + 357 + 66}{46} = \frac{921}{46} \approx 20.02 \] - Số trung vị: Ta sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần và tìm giá trị ở giữa: \n\n\n "Cân nặng \n (đơn vị: gam)",8,19,20,21,22 Số quả,1,10,15,17,3 \n\n\n\n Tổng cộng có 46 giá trị, do đó số trung vị nằm ở vị trí $\frac{46+1}{2} = 23,5$. Vậy số trung vị là giá trị ở vị trí 23 và 24. Vị trí 23 và 24 đều thuộc nhóm 20 gam, nên số trung vị là 20. b) Tìm độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị và giá trị bất thường: - Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{\frac{(8 - 20.02)^2 + 10 \times (19 - 20.02)^2 + 15 \times (20 - 20.02)^2 + 17 \times (21 - 20.02)^2 + 3 \times (22 - 20.02)^2}{46}} \] \[ = \sqrt{\frac{(12.02)^2 + 10 \times (-1.02)^2 + 15 \times (-0.02)^2 + 17 \times (0.98)^2 + 3 \times (1.98)^2}{46}} \] \[ = \sqrt{\frac{144.4804 + 10 \times 1.0404 + 15 \times 0.0004 + 17 \times 0.9604 + 3 \times 3.9204}{46}} \] \[ = \sqrt{\frac{144.4804 + 10.404 + 0.006 + 16.3268 + 11.7612}{46}} = \sqrt{\frac{182.9784}{46}} \approx \sqrt{3.9778} \approx 1.99 \] - Khoảng tứ phân vị: Q1 (tứ phân vị thứ nhất) là giá trị ở vị trí $\frac{46+1}{4} = 11,75$, tức là giá trị ở vị trí 12, thuộc nhóm 19 gam. Q3 (tứ phân vị thứ ba) là giá trị ở vị trí $\frac{3(46+1)}{4} = 35,25$, tức là giá trị ở vị trí 36, thuộc nhóm 21 gam. Khoảng tứ phân vị: \[ IQR = Q3 - Q1 = 21 - 19 = 2 \] - Giá trị bất thường: Giá trị bất thường nằm ngoài khoảng: \[ Q1 - 1.5 \times IQR = 19 - 1.5 \times 2 = 16 \] \[ Q3 + 1.5 \times IQR = 21 + 1.5 \times 2 = 24 \] Vì vậy, giá trị 8 gam là giá trị bất thường. Đáp số: a) Số trung bình: 20.02 gam, Số trung vị: 20 gam b) Độ lệch chuẩn: 1.99 gam, Khoảng tứ phân vị: 2 gam, Giá trị bất thường: 8 gam Câu 6: a) Kết quả trung bình của hai bạn có bằng nhau không? - Kết quả trung bình của bạn Huy: \[ \text{Trung bình Huy} = \frac{2,2 + 2,5 + 2,4 + 2,6 + 2,3}{5} = \frac{12}{5} = 2,4 \text{ mét} \] - Kết quả trung bình của bạn Tùng: \[ \text{Trung bình Tùng} = \frac{2,0 + 2,8 + 2,5 + 2,4 + 2,3}{5} = \frac{12}{5} = 2,4 \text{ mét} \] Vậy kết quả trung bình của hai bạn bằng nhau. b) Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên. - Sắp xếp kết quả của bạn Huy theo thứ tự tăng dần: 2,2; 2,3; 2,4; 2,5; 2,6 - Sắp xếp kết quả của bạn Tùng theo thứ tự tăng dần: 2,0; 2,3; 2,4; 2,5; 2,8 - Tìm Q1 (quartile 1) và Q3 (quartile 3) cho mỗi bạn: - Bạn Huy: - Q1 = 2,3 (số ở vị trí $\frac{5+1}{4} = 1,5$, lấy trung bình giữa 2,2 và 2,3) - Q3 = 2,5 (số ở vị trí $\frac{3(5+1)}{4} = 4,5$, lấy trung bình giữa 2,5 và 2,6) - Bạn Tùng: - Q1 = 2,3 (số ở vị trí $\frac{5+1}{4} = 1,5$, lấy trung bình giữa 2,0 và 2,3) - Q3 = 2,5 (số ở vị trí $\frac{3(5+1)}{4} = 4,5$, lấy trung bình giữa 2,5 và 2,8) - Khoảng tứ phân vị của bạn Huy: \[ Q3 - Q1 = 2,5 - 2,3 = 0,2 \text{ mét} \] - Khoảng tứ phân vị của bạn Tùng: \[ Q3 - Q1 = 2,5 - 2,3 = 0,2 \text{ mét} \] c) Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê kết quả 5 lần nhảy xa của mỗi bạn. - Phương sai và độ lệch chuẩn của bạn Huy: - Phương sai: \[ s^2_{Huy} = \frac{(2,2 - 2,4)^2 + (2,5 - 2,4)^2 + (2,4 - 2,4)^2 + (2,6 - 2,4)^2 + (2,3 - 2,4)^2}{5} = \frac{0,04 + 0,01 + 0 + 0,04 + 0,01}{5} = \frac{0,1}{5} = 0,02 \] - Độ lệch chuẩn: \[ s_{Huy} = \sqrt{0,02} \approx 0,141 \text{ mét} \] - Phương sai và độ lệch chuẩn của bạn Tùng: - Phương sai: \[ s^2_{Tùng} = \frac{(2,0 - 2,4)^2 + (2,8 - 2,4)^2 + (2,5 - 2,4)^2 + (2,4 - 2,4)^2 + (2,3 - 2,4)^2}{5} = \frac{0,16 + 0,16 + 0,01 + 0 + 0,01}{5} = \frac{0,34}{5} = 0,068 \] - Độ lệch chuẩn: \[ s_{Tùng} = \sqrt{0,068} \approx 0,261 \text{ mét} \] Đáp số: a) Kết quả trung bình của hai bạn bằng nhau: 2,4 mét. b) Khoảng tứ phân vị của bạn Huy và bạn Tùng đều là 0,2 mét. c) Phương sai và độ lệch chuẩn của bạn Huy: 0,02 và 0,141 mét. Phương sai và độ lệch chuẩn của bạn Tùng: 0,068 và 0,261 mét.