Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để giải quyết các khẳng định trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên các tính chất và công thức liên quan đến vectơ trong không gian.
Khẳng định (a):
Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng -52.
- Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2; 3 + 1; -1 - 1) = (-3; 4; -2)$
- Vectơ $\overrightarrow{BC} = C - B = (5 + 1; -3 - 3; 4 + 1) = (6; -6; 5)$
Tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$:
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-3) \times 6 + 4 \times (-6) + (-2) \times 5 = -18 - 24 - 10 = -52 \]
Khẳng định này đúng.
Khẳng định (b):
Góc $\widehat{ABC}$ là góc tù.
- Ta đã biết tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ là -52, là một số âm.
- Nếu tích vô hướng của hai vectơ là số âm, góc giữa chúng là góc tù.
Khẳng định này đúng.
Khẳng định (c):
Côsin giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $\frac{-23}{\sqrt{638}}$.
- Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (5 - 2; -3 + 1; 4 - 1) = (3; -2; 3)$
Tích vô hướng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:
\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-3) \times 3 + 4 \times (-2) + (-2) \times 3 = -9 - 8 - 6 = -23 \]
Phép nhân vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:
\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29} \]
\[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22} \]
Côsin góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$:
\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \times |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-23}{\sqrt{29} \times \sqrt{22}} = \frac{-23}{\sqrt{638}} \]
Khẳng định này đúng.
Khẳng định (d):
Điểm $D(1;2;x)$ với $\Delta ABD$ vuông tại B thì giá trị $x=-6$.
- Để tam giác ABD vuông tại B, tích vô hướng của $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BD}$ phải bằng 0.
Vectơ $\overrightarrow{BA} = A - B = (2 + 1; -1 - 3; 1 + 1) = (3; -4; 2)$
Vectơ $\overrightarrow{BD} = D - B = (1 + 1; 2 - 3; x + 1) = (2; -1; x + 1)$
Tích vô hướng của $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BD}$:
\[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD} = 3 \times 2 + (-4) \times (-1) + 2 \times (x + 1) = 6 + 4 + 2x + 2 = 12 + 2x \]
Để tam giác ABD vuông tại B:
\[ 12 + 2x = 0 \]
\[ 2x = -12 \]
\[ x = -6 \]
Khẳng định này đúng.
Kết luận:
- Khẳng định (a) đúng.
- Khẳng định (b) đúng.
- Khẳng định (c) đúng.
- Khẳng định (d) đúng.
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.