giúp em với ạ

Câu 5. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = MA^2 + MB^2 + MC^2 + 2MD^2 \), ta sẽ sử dụng phương pháp tọa độ trọng tâm. Bước 1: Xác định trọng tâm của các điểm A, B, C và D với các hệ số tương ứng. Trọng tâm \( G \) của các điểm \( A, B, C, D \) với các hệ số \( 1, 1, 1, 2 \) lần lượt là: \[ G = \left( \frac{-6 + 1 - 3 - 1 \times 2}{1 + 1 + 1 + 2}, \frac{4 + 1 + 2 - 1 \times 2}{1 + 1 + 1 + 2}, \frac{-1 + 2 + 4 + 0 \times 2}{1 + 1 + 1 + 2} \right) \] Bước 2: Tính toán tọa độ của trọng tâm \( G \). \[ G = \left( \frac{-6 + 1 - 3 - 2}{5}, \frac{4 + 1 + 2 - 2}{5}, \frac{-1 + 2 + 4 + 0}{5} \right) \] \[ G = \left( \frac{-10}{5}, \frac{5}{5}, \frac{5}{5} \right) \] \[ G = (-2, 1, 1) \] Bước 3: Xác định tọa độ của điểm \( M \) sao cho \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất. Theo tính chất của trọng tâm, biểu thức \( P \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( M \) trùng với trọng tâm \( G \). Do đó, tọa độ của \( M \) là \( (-2, 1, 1) \). Bước 4: Tính giá trị của \( Q = 15a + 10b - c \). Thay \( a = -2 \), \( b = 1 \), \( c = 1 \) vào biểu thức \( Q \): \[ Q = 15(-2) + 10(1) - 1 \] \[ Q = -30 + 10 - 1 \] \[ Q = -21 \] Vậy giá trị của \( Q \) là \(-21\). Câu 6. Trước hết, ta xác định vị trí ban đầu của máy bay A và máy bay B. - Máy bay A bay với tốc độ 840 km/h về phía nam. - Sau nửa giờ, máy bay B bắt đầu bay với tốc độ 960 km/h về phía nam, ở độ cao thấp hơn máy bay A 50 km. Ta giả sử máy bay A bắt đầu từ điểm O(0, 0, 0) và máy bay B bắt đầu từ điểm B(0, 420, -50) (vì sau nửa giờ máy bay A đã bay được 420 km về phía nam). Bây giờ, ta sẽ xác định vị trí của máy bay A và máy bay B sau thời gian t (tính từ lúc máy bay B bắt đầu bay). - Vị trí của máy bay A sau thời gian t + 0,5 giờ là: \(A(0, 840(t + 0,5), 0)\) - Vị trí của máy bay B sau thời gian t giờ là: \(B(0, 960t, -50)\) Khoảng cách giữa hai máy bay A và B là: \[ d = \sqrt{(0 - 0)^2 + (840(t + 0,5) - 960t)^2 + (0 - (-50))^2} \] \[ d = \sqrt{(840t + 420 - 960t)^2 + 50^2} \] \[ d = \sqrt{(-120t + 420)^2 + 2500} \] Để khoảng cách này ngắn nhất, ta cần tìm giá trị của t sao cho biểu thức dưới dấu căn nhỏ nhất. Ta sẽ tìm đạo hàm của biểu thức này và đặt nó bằng 0. Gọi \( f(t) = (-120t + 420)^2 + 2500 \). Đạo hàm của \( f(t) \) là: \[ f'(t) = 2(-120t + 420)(-120) \] \[ f'(t) = 240(-120t + 420) \] Đặt \( f'(t) = 0 \): \[ 240(-120t + 420) = 0 \] \[ -120t + 420 = 0 \] \[ t = \frac{420}{120} \] \[ t = 3,5 \] Vậy, khoảng cách giữa hai máy bay A và B ngắn nhất khi máy bay B bay trong khoảng thời gian 3,5 giờ kể từ lúc máy bay B bắt đầu bay. Đáp số: 3,5 giờ.