Giải giúp tôi

Bài 1 1) Rút gọn biểu thức \( A = \frac{8}{\sqrt{5} - 1} - \sqrt{20} + \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} \): Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) - Ta có: \[ \frac{8}{\sqrt{5} - 1} = \frac{8(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{8(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{8(\sqrt{5} + 1)}{4} = 2(\sqrt{5} + 1) \] - Ta cũng có: \[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} \] - Ta có: \[ \sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| \] Vì \( \sqrt{5} \approx 2.236 \), nên \( 2 - \sqrt{5} < 0 \), do đó: \[ |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2 \] - Kết hợp lại ta có: \[ A = 2(\sqrt{5} + 1) - 2\sqrt{5} + (\sqrt{5} - 2) \] \[ A = 2\sqrt{5} + 2 - 2\sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 \] \[ A = \sqrt{5} \] 2) Rút gọn biểu thức \( B = \left( \frac{2}{\sqrt{x} + 3} + \frac{9 - \sqrt{x}}{x - 9} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{3 - \sqrt{x}} \) với \( x \geq 0 \) và \( x \neq 9 \): Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 9 \) - Ta có: \[ \frac{9 - \sqrt{x}}{x - 9} = \frac{-(\sqrt{x} - 9)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = -\frac{1}{\sqrt{x} + 3} \] - Kết hợp lại ta có: \[ \frac{2}{\sqrt{x} + 3} + \frac{9 - \sqrt{x}}{x - 9} = \frac{2}{\sqrt{x} + 3} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} \] - Ta có: \[ B = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} : \frac{\sqrt{x} + 1}{3 - \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + 3} \times \frac{3 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} = \frac{3 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 1)} \] - Kết hợp lại ta có: \[ B = \frac{3 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 1)} \] Đáp số: 1) \( A = \sqrt{5} \) 2) \( B = \frac{3 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 1)} \) Bài 2 1) Giải bất phương trình $\frac{2x-1}{6}-\frac{x}{3} \geq 4 + \frac{5x}{3}$ Đầu tiên, ta quy đồng mẫu số để biến đổi bất phương trình: \[ \frac{2x-1}{6} - \frac{2x}{6} \geq 4 + \frac{10x}{6} \] \[ \frac{2x-1-2x}{6} \geq 4 + \frac{10x}{6} \] \[ \frac{-1}{6} \geq 4 + \frac{10x}{6} \] Quy đồng mẫu số và chuyển các hạng tử sang một vế: \[ -1 \geq 24 + 10x \] \[ -1 - 24 \geq 10x \] \[ -25 \geq 10x \] \[ x \leq -\frac{25}{10} \] \[ x \leq -\frac{5}{2} \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ x \leq -\frac{5}{2} \] 2) Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} \frac{2}{x} + 3y = 1 \\ \frac{2}{x} + 2y = -2 \end{array} \right. \] Gọi $\frac{2}{x} = a$, ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{ \begin{array}{l} a + 3y = 1 \\ a + 2y = -2 \end{array} \right. \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (a + 3y) - (a + 2y) = 1 - (-2) \] \[ y = 3 \] Thay $y = 3$ vào phương trình $a + 2y = -2$: \[ a + 2(3) = -2 \] \[ a + 6 = -2 \] \[ a = -8 \] Do đó, $\frac{2}{x} = -8$, suy ra: \[ x = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \[ (x, y) = \left(-\frac{1}{4}, 3\right) \] Bài 3. Gọi số quyển vở 80 trang là x (quyển, điều kiện: x ≥ 0) Gọi số quyển vở 100 trang là y (quyển, điều kiện: y ≥ 0) Theo đề bài, ta có: - Tổng số quyển vở là 550 quyển, nên ta có phương trình: \[ x + y = 550 \] - Tổng số tiền mua vở là 3.600.000 đồng, giá của mỗi quyển vở 80 trang là 6.000 đồng và giá của mỗi quyển vở 100 trang là 7.500 đồng, nên ta có phương trình: \[ 6000x + 7500y = 3600000 \] Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này. Từ phương trình đầu tiên, ta có: \[ y = 550 - x \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 6000x + 7500(550 - x) = 3600000 \] \[ 6000x + 4125000 - 7500x = 3600000 \] \[ -1500x + 4125000 = 3600000 \] \[ -1500x = 3600000 - 4125000 \] \[ -1500x = -525000 \] \[ x = \frac{-525000}{-1500} \] \[ x = 350 \] Thay x = 350 vào phương trình \( y = 550 - x \): \[ y = 550 - 350 \] \[ y = 200 \] Vậy nhà trường đã mua 350 quyển vở 80 trang và 200 quyển vở 100 trang. Bài 4 1. a) Độ dài cung nhỏ AB: - Ta biết rằng đường tròn có chu vi là $2\pi R$, với $R = 5$ cm. - Cung nhỏ AB chiếm $\frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{4}$ chu vi đường tròn. - Do đó, độ dài cung nhỏ AB là: \[ \text{Độ dài cung nhỏ AB} = \frac{1}{4} \times 2\pi \times 5 = \frac{10\pi}{4} = 2.5\pi \approx 7.85 \text{ cm} \] b) Diện tích viên phân giới hạn bởi cung nhỏ AB và dây AB: - Diện tích hình quạt nhỏ OAB là: \[ S_{quạt} = \frac{1}{4} \times \pi \times 5^2 = \frac{25\pi}{4} \] - Diện tích tam giác OAB là: \[ S_{tam giác} = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 \times \sin(90^\circ) = \frac{25}{2} \] - Diện tích viên phân là: \[ S_{viên phân} = S_{quạt} - S_{tam giác} = \frac{25\pi}{4} - \frac{25}{2} \approx 19.63 - 12.5 = 7.13 \text{ cm}^2 \] 2. a) Chứng minh MB là tiếp tuyến của đường tròn (O): - Ta có OH vuông góc với AB tại H, do đó OH là đường cao hạ từ tâm O xuống dây AB. - Vì OH vuông góc với AB tại H, nên OH cũng vuông góc với tiếp tuyến tại A. - Mặt khác, OH vuông góc với tiếp tuyến tại A, nên OH vuông góc với MB. - Do đó, MB là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Chứng minh $\frac{AK}{KC} = \frac{MB}{BI}$ và KB là tia phân giác của góc $\widehat{MKI}$: - Ta có AC là đường kính, nên $\widehat{ABC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). - Vì BK vuông góc với AC tại K, nên BK là đường cao hạ từ B xuống AC. - Mặt khác, vì MB là tiếp tuyến tại B, nên MB vuông góc với OB. - Do đó, ta có $\frac{AK}{KC} = \frac{MB}{BI}$ (theo tỉ lệ trong tam giác vuông). - Vì KB vuông góc với AC tại K, nên KB là tia phân giác của góc $\widehat{MKI}$.