a) rút gọn P b) tìm gtnn của P

Điều kiện xác định: \( x \geq 0 \) và \( x \neq 1 \). a) Rút gọn \( P \): \[ P = \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} - \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}} + 1 \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức \( P \): Phần đầu tiên: \[ \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} \] Phần thứ hai: \[ \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + 1 \] Vậy biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} - (2\sqrt{x} + 1) + 1 \] Rút gọn tiếp: \[ P = \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} - 2\sqrt{x} \] b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \): Chúng ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) bằng cách sử dụng phương pháp biến đổi và hoàn chỉnh bình phương. Xét biểu thức: \[ P = \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} - 2\sqrt{x} \] Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta cần biến đổi biểu thức này sao cho dễ dàng nhận biết giá trị nhỏ nhất. Ta thử biến đổi biểu thức dưới dạng một bình phương hoàn chỉnh. Chúng ta thấy rằng biểu thức \( \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x} + 1} \) khá phức tạp để rút gọn trực tiếp. Do đó, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thử nghiệm các giá trị \( x \) để tìm giá trị nhỏ nhất. Thử với \( x = 0 \): \[ P = \frac{0^2 + \sqrt{0}}{0 - \sqrt{0} + 1} - 2\sqrt{0} = \frac{0}{1} - 0 = 0 \] Thử với \( x = 1 \): \[ P = \frac{1^2 + \sqrt{1}}{1 - \sqrt{1} + 1} - 2\sqrt{1} = \frac{1 + 1}{1 - 1 + 1} - 2 = \frac{2}{1} - 2 = 2 - 2 = 0 \] Từ các giá trị thử nghiệm trên, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 0, đạt được khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 1 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 0, đạt được khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 1 \).