giải giúp em với ạa

Bài 8: a) Ta có: $$ Vì (O) đường kính AB nên ta có: $$ Do đó, tam giác AHB vuông tại H. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHB: $$ $$ Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHC: $$ $$ Ta cũng biết: $$ Từ đây, ta có: $$ Thay vào phương trình $$: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ Thay $$ vào $$: $$ $$ $$ $$ b) Ta cần chứng minh $$. - Vì $$ tại K, nên $$ là đường cao hạ từ O xuống AH. - Ta có $$ là tâm của đường tròn (O) đường kính AB, do đó $$. - Vì $$, nên $$ là đường cao hạ từ O xuống AH, tức là $$ là đường trung trực của đoạn thẳng AH. - Do đó, $$ là trung điểm của AH, tức là $$. Xét tam giác $$: - $$ - $$ Xét tam giác $$: - $$ - $$ Vì $$ và $$ là trung điểm của AH, nên $$ là đường trung trực của AH. Do đó, $$ nằm trên đường thẳng này và $$ là giao điểm của OK và AC. Xét tam giác $$: - $$ là bán kính của đường tròn (O), tức là $$ - $$ là đoạn thẳng từ H đến D, nằm trên đường thẳng OK. Vì $$ và $$ nằm trên OK, nên $$. Vậy ta đã chứng minh được $$. Bài 9: a) Ta có: - $$ (vì $$ vuông tại A) - $$ (vì AH là đường cao hạ từ đỉnh A) - $$ (vì AH là đường cao hạ từ đỉnh A) Do đó, $$ và $$. Vì (I) có đường kính BH nên $$. Vì (K) có đường kính HC nên $$. Vậy ta có: - $$ - $$ Từ đó, tứ giác ADHE có 4 góc đều là góc vuông, do đó ADHE là hình chữ nhật. b) Ta có: - $$ (vì AH là đường cao hạ từ đỉnh A) - $$ (vì AH là đường cao hạ từ đỉnh A) Do đó, $$ và $$. Vì (I) có đường kính BH nên $$. Vì (K) có đường kính HC nên $$. Từ đó, ta có: - $$ - $$ Vậy $$ và $$ là các tam giác vuông tại D và E lần lượt. Ta có: - $$ (góc chung $$ và các góc vuông) Nhân cả hai vế với $$, ta được: $$ c) Ta có: - $$ - $$ Áp dụng định lý Pythagoras trong $$: $$ Vì ADHE là hình chữ nhật, ta có: $$ Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ABC theo hai cách: $$ $$ Từ đó: $$ $$ $$ Vậy: $$ Diện tích tứ giác DEKI là: $$ Vì ADHE là hình chữ nhật, ta có: $$ Ta đã biết: $$ Vậy: $$ Diện tích tam giác AID và AKD là: $$ $$ Vậy diện tích tứ giác DEKI là: $$ Đáp số: $$ $$ Bài 10: a) Ta có $$ (tia phân giác) $$ Do đó $$ (góc - cạnh - góc) Suy ra $$ Mà $$ (D nằm trên đường trung trực của BC) Do đó $$ là hình vuông (4 cạnh bằng nhau và có 1 góc vuông) b) Ta có $$ (tia phân giác) $$ (D nằm trên đường trung trực của BC) Do đó $$ (cạnh - góc - cạnh) Suy ra $$ Mà $$ là tia phân giác của $$ Do đó $$ cùng thuộc một đường tròn (cùng nhìn thấy cung BC dưới cùng một góc) Bài 11: a) Ta có: $$ $$ $$ $$ Ta tính góc ABC: $$ $$ b) 1) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật: - Vì H là hình chiếu của C trên AB nên AH vuông góc với BC. - Vì D là hình chiếu của H trên AB nên HD vuông góc với AB. - Vì E là hình chiếu của H trên AC nên HE vuông góc với AC. - Các góc ở đỉnh H đều là góc vuông, do đó tứ giác ADHE là hình chữ nhật. 2) Chứng minh $$: - Trong tam giác vuông AHD, ta có: $$ - Trong tam giác vuông AHE, ta có: $$ - Trong tam giác vuông ADE, ta có: $$ Từ đó: $$ $$ $$ $$ Vì $$ và $$, ta có: $$ $$ $$ 3) Chứng minh $$: - Trong tam giác vuông ACH, ta có: $$ - Trong tam giác vuông BDH, ta có: $$ Do đó: $$ $$ Vì $$, ta có: $$ $$ $$ Đáp số: a) $$ b) 1) Tứ giác ADHE là hình chữ nhật. 2) $$ 3) $$ Bài 12: a) Ta có: $$ Diện tích tam giác ABC: $$ Diện tích tam giác ABC cũng có thể tính qua đường cao AH: $$ $$ $$ Số đo góc BAH: $$ $$ b) Ta cần chứng minh rằng 4 điểm A, B, O, K cùng nằm trên một đường tròn. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng góc BOK và góc BAK là góc nội tiếp cùng chắn cung BK. - Vì O là trung điểm của AC nên AO = OC. - Hình chiếu của O trên BC là K, tức là OK vuông góc với BC. - Xét tam giác BOK và tam giác BAK: - Góc BOK và góc BAK đều chắn cung BK. - Do đó, 4 điểm A, B, O, K cùng nằm trên một đường tròn. c) Ta cần chứng minh rằng $$ và ba điểm O, K, M thẳng hàng. - Xét tam giác ABQ và tam giác ACAM: - Góc BAC chung. - Góc BQA và góc CMA đều vuông (vì đường thẳng qua A vuông góc với BO và đường thẳng qua C vuông góc với AC). - Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có $$. - Để chứng minh ba điểm O, K, M thẳng hàng, ta xét rằng: - O là trung điểm của AC. - K là hình chiếu của O trên BC. - M là giao điểm của đường thẳng qua A vuông góc với BO và đường thẳng qua C vuông góc với AC. - Vì O, K, M đều nằm trên đường thẳng vuông góc với AC và BC, nên ba điểm này thẳng hàng. Đáp số: a) $$ $$ b) Chứng minh 4 điểm A, B, O, K cùng nằm trên một đường tròn. c) Chứng minh $$ và ba điểm O, K, M thẳng hàng. Bài 13: a) Ta có $$ Nên bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC. Tâm của đường tròn đó là trung điểm của BC. b) Ta có HE = HI nên tam giác HEI cân tại H. $$ Mà $$ (cùng chắn cung FH) Nên $$ Do đó bốn điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn. c) Ta có $$ Mà $$ Nên $$ Hay $$ Mà $$ Nên $$ Do đó bốn điểm E, I, M, A cùng thuộc một đường tròn. Mà bốn điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn. Nên điểm M thuộc đường tròn đi qua bốn điểm E, F, I, K. Điều kiện cần tìm là: $$.