Giải giúp ạ

Câu 1. Để xác định số lượng điểm cực trị của hàm số \( f(x) \), chúng ta cần dựa vào đồ thị của đạo hàm \( y = f'(x) \). 1. Xác định các điểm cực trị: - Một điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) xảy ra khi đạo hàm \( f'(x) \) thay đổi dấu từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương. - Trên đồ thị của \( y = f'(x) \), các điểm cực trị của \( f(x) \) tương ứng với các điểm mà đường đồ thị cắt trục hoành (tức là \( f'(x) = 0 \)) và thay đổi dấu. 2. Phân tích đồ thị của \( y = f'(x) \): - Đồ thị của \( y = f'(x) \) cắt trục hoành tại ba điểm: \( x = -2 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \). - Tại mỗi điểm này, chúng ta cần kiểm tra xem đạo hàm có thay đổi dấu hay không: - Từ trái sang phải, tại \( x = -2 \): - Trước \( x = -2 \), \( f'(x) < 0 \) (đạo hàm âm). - Sau \( x = -2 \), \( f'(x) > 0 \) (đạo hàm dương). - Do đó, \( f(x) \) có cực tiểu tại \( x = -2 \). - Tại \( x = 0 \): - Trước \( x = 0 \), \( f'(x) > 0 \) (đạo hàm dương). - Sau \( x = 0 \), \( f'(x) < 0 \) (đạo hàm âm). - Do đó, \( f(x) \) có cực đại tại \( x = 0 \). - Tại \( x = 2 \): - Trước \( x = 2 \), \( f'(x) < 0 \) (đạo hàm âm). - Sau \( x = 2 \), \( f'(x) > 0 \) (đạo hàm dương). - Do đó, \( f(x) \) có cực tiểu tại \( x = 2 \). 3. Kết luận: - Hàm số \( f(x) \) có ba điểm cực trị: hai cực tiểu tại \( x = -2 \) và \( x = 2 \), và một cực đại tại \( x = 0 \). Vậy, hàm số \( f(x) \) có 3 điểm cực trị. Câu 2. Để tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm có tuổi thọ trung bình đồng đều nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số lượng nam và nữ trong mỗi nhóm tuổi: - Nam: 4 + 7 + 4 + 6 + 15 + 12 + 2 + 0 = 50 - Nữ: 3 + 4 + 5 + 3 + 7 + 14 + 13 + 1 = 50 2. Tổng số lượng người trong mẫu: - Tổng số lượng người = 50 (nam) + 50 (nữ) = 100 3. Xác định vị trí của Q1 và Q3: - Vị trí của Q1: $\frac{100}{4} = 25$ - Vị trí của Q3: $\frac{3 \times 100}{4} = 75$ 4. Xác định nhóm chứa Q1 và Q3: - Nhóm chứa Q1: [50, 55) - Nhóm chứa Q3: [75, 80) 5. Tính Q1 và Q3: - Q1: \[ Q1 = 50 + \left( \frac{25 - 11}{7} \right) \times 5 = 50 + \left( \frac{14}{7} \right) \times 5 = 50 + 10 = 60 \] - Q3: \[ Q3 = 75 + \left( \frac{75 - 69}{14} \right) \times 5 = 75 + \left( \frac{6}{14} \right) \times 5 = 75 + 2.14 = 77.14 \] 6. Tính khoảng tứ phân vị: \[ Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 77.14 - 60 = 17.14 \] Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm có tuổi thọ trung bình đồng đều nhất là 17.14. Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích đáy của bể: - Gọi chiều rộng của đáy bể là \( x \) (m). - Chiều dài của đáy bể là \( 3x \) (m). - Diện tích đáy bể là \( S_{đáy} = x \times 3x = 3x^2 \) (m²). 2. Tìm chiều cao của bể: - Thể tích bể là \( V = 18 \) m³. - Chiều cao của bể là \( h \) (m). - Ta có: \( V = S_{đáy} \times h \Rightarrow 18 = 3x^2 \times h \Rightarrow h = \frac{18}{3x^2} = \frac{6}{x^2} \) (m). 3. Tính diện tích toàn phần của bể (không có nắp): - Diện tích xung quanh của bể là \( S_{xq} = 2(x + 3x) \times h = 8x \times \frac{6}{x^2} = \frac{48}{x} \) (m²). - Diện tích toàn phần của bể là \( S_{tp} = S_{đáy} + S_{xq} = 3x^2 + \frac{48}{x} \) (m²). 4. Tính chi phí thuê nhân công: - Chi phí thuê nhân công là \( C = 500000 \times S_{tp} = 500000 \times (3x^2 + \frac{48}{x}) \) (đồng). 5. Tìm giá trị của \( x \) để chi phí thuê nhân công là thấp nhất: - Để chi phí thuê nhân công là thấp nhất, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( S_{tp} \) là nhỏ nhất. - Xét hàm số \( f(x) = 3x^2 + \frac{48}{x} \). - Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = 6x - \frac{48}{x^2} \] - Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 6x - \frac{48}{x^2} = 0 \Rightarrow 6x = \frac{48}{x^2} \Rightarrow 6x^3 = 48 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2 \] 6. Kiểm tra điều kiện để \( f(x) \) đạt cực tiểu: - Tính đạo hàm thứ hai của \( f(x) \): \[ f''(x) = 6 + \frac{96}{x^3} \] - Tại \( x = 2 \): \[ f''(2) = 6 + \frac{96}{8} = 6 + 12 = 18 > 0 \] - Vậy \( f(x) \) đạt cực tiểu tại \( x = 2 \). 7. Tìm chiều cao của bể: - Chiều cao của bể là: \[ h = \frac{6}{x^2} = \frac{6}{2^2} = \frac{6}{4} = 1.5 \text{ (m)} \] Vậy, để chi phí thuê nhân công là thấp nhất, cần xây bể có chiều cao bằng 1.5 mét. Câu 4. Để hàm số $y = 2x^3 - 3x^2 - 6mx + m$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần tìm điều kiện của $m$ sao cho đạo hàm của hàm số luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 trên $\mathbb{R}$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 - 6mx + m) = 6x^2 - 6x - 6m \] Bước 2: Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần: \[ y' \leq 0 \] \[ 6x^2 - 6x - 6m \leq 0 \] \[ x^2 - x - m \leq 0 \] Bước 3: Xét phương trình bậc hai: \[ x^2 - x - m = 0 \] Để phương trình này có nghiệm thực, ta cần: \[ \Delta = (-1)^2 - 4(1)(-m) = 1 + 4m \geq 0 \] \[ 4m \geq -1 \] \[ m \geq -\frac{1}{4} \] Bước 4: Xét dấu của tam thức bậc hai: \[ x^2 - x - m \leq 0 \] Phương trình $x^2 - x - m = 0$ có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{1 - \sqrt{1 + 4m}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{1 + 4m}}{2} \] Để tam thức $x^2 - x - m \leq 0$, ta cần: \[ x_1 \leq x \leq x_2 \] Do đó, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nếu và chỉ nếu: \[ x_1 \leq x \leq x_2 \text{ cho mọi } x \in \mathbb{R} \] Điều này chỉ xảy ra khi tam thức $x^2 - x - m$ luôn âm hoặc bằng 0 trên $\mathbb{R}$, tức là: \[ x_1 = x_2 \] \[ \Delta = 0 \] \[ 1 + 4m = 0 \] \[ m = -\frac{1}{4} \] Tuy nhiên, vì chúng ta cần hàm số nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$, điều này chỉ đúng khi $m = -\frac{1}{4}$. Do đó, $m$ phải nhỏ hơn hoặc bằng $-\frac{1}{4}$. Bước 5: Tìm số nguyên nhỏ hơn 2025 thỏa mãn điều kiện trên: \[ m \leq -\frac{1}{4} \] Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này là $m = -1$. Số nguyên lớn nhất nhỏ hơn 2025 là $m = 2024$. Vậy số lượng số nguyên nhỏ hơn 2025 thỏa mãn điều kiện là: \[ 2024 - (-1) + 1 = 2026 \] Đáp số: 2026 số nguyên. Câu 5. Để tìm số điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \), ta cần tìm các điểm mà đạo hàm \( f'(x) \) bằng 0 hoặc không xác định, sau đó kiểm tra tính chất của đạo hàm ở các điểm này để xác định chúng có phải là điểm cực trị hay không. Bước 1: Tìm đạo hàm \( f'(x) \). Theo đề bài, đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) là: \[ f'(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 2x^2 - 4} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức đạo hàm. \[ f'(x) = \frac{x - 1}{-x^2 - 4} \] \[ f'(x) = -\frac{x - 1}{x^2 + 4} \] Bước 3: Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0. \[ f'(x) = 0 \] \[ -\frac{x - 1}{x^2 + 4} = 0 \] Phân số bằng 0 khi tử số bằng 0 (mẫu số không được phép bằng 0): \[ x - 1 = 0 \] \[ x = 1 \] Bước 4: Kiểm tra tính chất của đạo hàm ở các điểm này. Ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm \( f'(x) \) ở các khoảng xung quanh điểm \( x = 1 \): - Khi \( x < 1 \), \( x - 1 < 0 \) và \( x^2 + 4 > 0 \). Do đó, \( f'(x) > 0 \). - Khi \( x > 1 \), \( x - 1 > 0 \) và \( x^2 + 4 > 0 \). Do đó, \( f'(x) < 0 \). Từ đó, ta thấy rằng đạo hàm \( f'(x) \) thay đổi từ dương sang âm khi đi qua điểm \( x = 1 \). Điều này cho thấy \( x = 1 \) là điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) \). Bước 5: Kết luận. Hàm số \( y = f(x) \) có 1 điểm cực trị, cụ thể là điểm cực đại tại \( x = 1 \). Đáp số: 1 điểm cực trị. Câu 6. Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{5x + 1 - \sqrt{x + 1}}{x^2 - 2x}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các đường tiệm cận đứng: Các đường tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0 tại những điểm đó. Ta có: \[ x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Kiểm tra các giá trị này trong tử số: - Khi $x = 0$: \[ 5(0) + 1 - \sqrt{0 + 1} = 1 - 1 = 0 \] Vậy $x = 0$ không là đường tiệm cận đứng vì tử số cũng bằng 0. - Khi $x = 2$: \[ 5(2) + 1 - \sqrt{2 + 1} = 10 + 1 - \sqrt{3} = 11 - \sqrt{3} \neq 0 \] Vậy $x = 2$ là đường tiệm cận đứng. 2. Tìm các đường tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang xuất hiện khi $\lim_{x \to \pm\infty} y = L$, với $L$ là hằng số hữu hạn. Ta tính: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5x + 1 - \sqrt{x + 1}}{x^2 - 2x} \] Chia cả tử và mẫu cho $x^2$: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{5x}{x^2} + \frac{1}{x^2} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{\sqrt{x + 1}}{x^2}}{1 - \frac{2}{x}} \] Khi $x \to \pm\infty$, các phân số $\frac{5}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{\sqrt{x + 1}}{x^2}$ và $\frac{2}{x}$ đều tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{0 + 0 - 0}{1 - 0} = 0 \] Vậy đường tiệm cận ngang là $y = 0$. 3. Kết luận: Đồ thị hàm số $y = \frac{5x + 1 - \sqrt{x + 1}}{x^2 - 2x}$ có 2 đường tiệm cận là: - Đường tiệm cận đứng: $x = 2$ - Đường tiệm cận ngang: $y = 0$ Vậy đồ thị hàm số có tất cả 2 đường tiệm cận. Câu 7. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các thông số và tính toán ban đầu - Đáy ABCD là hình chữ nhật với \( AB = a \) và \( BC = a\sqrt{3} \). - \( SA = a \) và \( SA \) vuông góc với đáy ABCD. - Trọng tâm của tam giác SBD là G. Bước 2: Tìm diện tích của các hình phẳng liên quan Diện tích tam giác SBD: - \( BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a \) - Diện tích tam giác SBD: \[ S_{SBD} = \frac{1}{2} \times BD \times SA = \frac{1}{2} \times 2a \times a = a^2 \] Diện tích tam giác CBD: - Diện tích tam giác CBD: \[ S_{CBD} = \frac{1}{2} \times BC \times CD = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times a = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \] Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) Thể tích khối chóp SBCD: - Thể tích khối chóp SBCD: \[ V_{SBCD} = \frac{1}{3} \times S_{BCD} \times SA = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \times a = \frac{a^3\sqrt{3}}{6} \] Thể tích khối chóp SBCD cũng có thể được tính qua khoảng cách từ C đến (SBD): - Gọi khoảng cách từ C đến (SBD) là \( d_1 \): \[ V_{SBCD} = \frac{1}{3} \times S_{SBD} \times d_1 = \frac{1}{3} \times a^2 \times d_1 = \frac{a^3\sqrt{3}}{6} \] \[ d_1 = \frac{\frac{a^3\sqrt{3}}{6}}{\frac{1}{3} \times a^2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6} \times \frac{3}{a^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Bước 4: Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD) Trọng tâm G của tam giác SBD: - Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, do đó khoảng cách từ G đến (SCD) sẽ là \(\frac{1}{3}\) khoảng cách từ S đến (SCD). Khoảng cách từ S đến (SCD): - Khoảng cách từ S đến (SCD) là \( SA = a \). Khoảng cách từ G đến (SCD): - Khoảng cách từ G đến (SCD) là: \[ d_2 = \frac{1}{3} \times SA = \frac{1}{3} \times a = \frac{a}{3} \] Kết luận: - Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) là \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \). - Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD) là \( \frac{a}{3} \). Câu 8. Để tính giá trị của \(a + b^2\), chúng ta sẽ sử dụng thông tin đã cho về hàm số \(R(t)\) và đạo hàm của nó. Bước 1: Xác định giá trị của \(R(0)\) - Khi \(t = 0\), doanh số ban đầu là 1000 sản phẩm: \[ R(0) = \frac{a}{1 + b} = 1000 \] Bước 2: Xác định giá trị của \(R'(0)\) - Đạo hàm của \(R(t)\) là: \[ R'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{a}{1 + be^{-t}}\right) = \frac{abe^{-t}}{(1 + be^{-t})^2} \] - Khi \(t = 0\), tốc độ bán hàng là 800 sản phẩm/năm: \[ R'(0) = \frac{ab}{(1 + b)^2} = 800 \] Bước 3: Giải hệ phương trình - Từ \(R(0) = 1000\): \[ \frac{a}{1 + b} = 1000 \implies a = 1000(1 + b) \] - Thay \(a\) vào phương trình \(R'(0) = 800\): \[ \frac{1000(1 + b)b}{(1 + b)^2} = 800 \] \[ \frac{1000b}{1 + b} = 800 \] \[ 1000b = 800(1 + b) \] \[ 1000b = 800 + 800b \] \[ 200b = 800 \] \[ b = 4 \] Bước 4: Tìm giá trị của \(a\) - Thay \(b = 4\) vào phương trình \(a = 1000(1 + b)\): \[ a = 1000(1 + 4) = 1000 \times 5 = 5000 \] Bước 5: Tính giá trị của \(a + b^2\) \[ a + b^2 = 5000 + 4^2 = 5000 + 16 = 5016 \] Vậy giá trị của \(a + b^2\) là 5016. Câu 9. Để tìm đường tiệm cận xiên của hàm số \( y = \frac{x^2 + 3x + 2}{x - 3} \), ta thực hiện phép chia đa thức \( x^2 + 3x + 2 \) cho \( x - 3 \). Ta có: \[ \begin{array}{r|rr} & x & + 6 \\ \hline x - 3 & x^2 & + 3x & + 2 \\ & x^2 & - 3x & \\ \hline & & 6x & + 2 \\ & & 6x & - 18 \\ \hline & & & 20 \\ \end{array} \] Từ phép chia trên, ta thấy: \[ \frac{x^2 + 3x + 2}{x - 3} = x + 6 + \frac{20}{x - 3} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), phần \( \frac{20}{x - 3} \) sẽ tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của hàm số là: \[ y = x + 6 \] Vậy \( g(x) = x + 6 \). Để tính \( g(-2) \): \[ g(-2) = -2 + 6 = 4 \] Đáp số: \( g(-2) = 4 \) Câu 19: Để xác định khoảng cách giữa hai chiếc máy bay, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều. Trước tiên, xác định tọa độ của mỗi chiếc máy bay: - Chiếc máy bay thứ nhất có tọa độ là \((-10, 20, 0.779)\) (vì nó cách điểm xuất phát về phía Tây 10 km, về phía Bắc 20 km và cao 0.779 km). - Chiếc máy bay thứ hai có tọa độ là \((30, -25, 1)\) (vì nó cách điểm xuất phát về phía Đông 30 km, về phía Nam 25 km và cao 1 km). Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ của hai chiếc máy bay vào công thức: \[ d = \sqrt{(30 - (-10))^2 + (-25 - 20)^2 + (1 - 0.779)^2} \] \[ d = \sqrt{(30 + 10)^2 + (-25 - 20)^2 + (1 - 0.779)^2} \] \[ d = \sqrt{40^2 + (-45)^2 + 0.221^2} \] \[ d = \sqrt{1600 + 2025 + 0.048841} \] \[ d = \sqrt{3625.048841} \] \[ d \approx 60.21 \text{ km} \] Vậy khoảng cách giữa hai chiếc máy bay là khoảng 60.21 km.