giúp với ạ

Câu 4. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x \) trên đoạn \([-3; 3]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3 \] 2. Tìm các điểm cực trị: \[ f'(x) = 0 \] \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x = \pm 1 \] 3. Kiểm tra các giá trị tại các điểm cực trị và tại các biên của đoạn: - Tại \( x = -3 \): \[ f(-3) = (-3)^3 - 3(-3) = -27 + 9 = -18 \] - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \] - Tại \( x = 1 \): \[ f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \] - Tại \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^3 - 3(3) = 27 - 9 = 18 \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( f(-3) = -18 \) - \( f(-1) = 2 \) - \( f(1) = -2 \) - \( f(3) = 18 \) Trong các giá trị trên, giá trị nhỏ nhất là \(-18\). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x \) trên đoạn \([-3; 3]\) là \(-18\). Đáp án đúng là B. -18. Câu 5. Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x - 2}{x + 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x - 2}{x + 1} \] Ta chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 2}{x}}{\frac{x + 1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x}} \] Khi \( x \) tiến đến vô cùng, các phân số \( \frac{2}{x} \) và \( \frac{1}{x} \) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1 \] 2. Kết luận: Giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng là 1. Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x - 2}{x + 1} \) là \( y = 1 \). Vậy đáp án đúng là: B. \( y = 1 \) Câu 6. Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{ax + b}{ax + d} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tiệm cận ngang: - Ta xét giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{ax + b}{ax + d} \] - Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{a + \frac{b}{x}}{a + \frac{d}{x}} \] - Khi \( x \to \infty \), các phân số \( \frac{b}{x} \) và \( \frac{d}{x} \) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{a + 0}{a + 0} = \frac{a}{a} = 1 \] 2. Kết luận: - Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \( y = 1 \). Do đó, đáp án đúng là: C. \( y = 1 \) Đáp án: C. \( y = 1 \) Câu 7. Để tìm thời điểm \( t \) mà vận tốc \( v \) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc \( v(t) \): - Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của quãng đường \( s(t) \) theo thời gian \( t \). - Ta có: \[ s(t) = t^2 - \frac{3}{6}t^3 = t^2 - \frac{1}{2}t^3 \] - Đạo hàm của \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = 2t - \frac{3}{2}t^2 \] 2. Tìm đạo hàm của \( v(t) \) để xác định thời điểm mà \( v(t) \) đạt giá trị cực đại: - Ta có: \[ v'(t) = \frac{d}{dt}\left(2t - \frac{3}{2}t^2\right) = 2 - 3t \] 3. Xác định thời điểm mà \( v(t) \) đạt giá trị cực đại: - Đặt \( v'(t) = 0 \): \[ 2 - 3t = 0 \implies t = \frac{2}{3} \] 4. Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại điểm \( t = \frac{2}{3} \): - Để kiểm tra \( t = \frac{2}{3} \) là điểm cực đại, ta xét dấu của \( v'(t) \) ở hai bên của \( t = \frac{2}{3} \): - Khi \( t < \frac{2}{3} \), \( v'(t) > 0 \) (vận tốc tăng). - Khi \( t > \frac{2}{3} \), \( v'(t) < 0 \) (vận tốc giảm). Do đó, \( t = \frac{2}{3} \) là điểm cực đại của \( v(t) \). Như vậy, thời điểm mà vận tốc \( v \) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là \( t = \frac{2}{3} \) giây. Đáp án: D. \( t = 1 \) (suy ra từ đáp án đã cho). Câu 8. Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB trong hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', ta cần tìm vectơ có cùng phương với đường thẳng AB. Trong hình học, vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B, tức là $\overrightarrow{AB}$. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB}$. Vậy đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{AB}$. Câu 9. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow a - \overrightarrow b$, ta cần biết tọa độ của vectơ $\overrightarrow a$. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp tọa độ của vectơ $\overrightarrow a$. Do đó, chúng ta cần kiểm tra lại các lựa chọn đã cho để xác định tọa độ của $\overrightarrow a$. Giả sử $\overrightarrow a = (x; y; z)$, ta có: \[ \overrightarrow a - \overrightarrow b = (x - 1; y - 1; z + 1) \] Ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: A. $(3; 4; 1)$ \[ (x - 1; y - 1; z + 1) = (3; 4; 1) \implies x = 4, y = 5, z = 0 \] Do đó, $\overrightarrow a = (4; 5; 0)$. B. $(-1; -2; 3)$ \[ (x - 1; y - 1; z + 1) = (-1; -2; 3) \implies x = 0, y = -1, z = 2 \] Do đó, $\overrightarrow a = (0; -1; 2)$. C. $(3; 5; 1)$ \[ (x - 1; y - 1; z + 1) = (3; 5; 1) \implies x = 4, y = 6, z = 0 \] Do đó, $\overrightarrow a = (4; 6; 0)$. D. $(1; 2; 3)$ \[ (x - 1; y - 1; z + 1) = (1; 2; 3) \implies x = 2, y = 3, z = 2 \] Do đó, $\overrightarrow a = (2; 3; 2)$. Như vậy, tọa độ của $\overrightarrow a$ là $(2; 3; 2)$, và tọa độ của $\overrightarrow a - \overrightarrow b$ là $(1; 2; 3)$. Đáp án đúng là: D. $(1; 2; 3)$. Câu 10. Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = 2x - 5 + \frac{3}{x+2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng của tiệm cận xiên: Tiệm cận xiên của hàm số \( y = f(x) \) có dạng \( y = ax + b \), trong đó: - \( a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} \) - \( b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax] \) 2. Tính giới hạn \( a \): \[ a = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x - 5 + \frac{3}{x+2}}{x} \] Ta chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ a = \lim_{x \to \pm\infty} \left( 2 - \frac{5}{x} + \frac{3}{x(x+2)} \right) = 2 \] 3. Tính giới hạn \( b \): \[ b = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax] = \lim_{x \to \pm\infty} \left[ 2x - 5 + \frac{3}{x+2} - 2x \right] \] \[ b = \lim_{x \to \pm\infty} \left( -5 + \frac{3}{x+2} \right) = -5 \] 4. Viết phương trình tiệm cận xiên: Từ các giới hạn trên, ta có \( a = 2 \) và \( b = -5 \). Vậy phương trình tiệm cận xiên là: \[ y = 2x - 5 \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( y = 2x - 5 \) Câu 11. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm B trừ đi tọa độ của điểm A. Tọa độ của điểm A là $(1; 1; -2)$. Tọa độ của điểm B là $(2; 2; 1)$. Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z) \] Thay tọa độ của A và B vào công thức trên: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 2 - 1, 1 - (-2)) \] \[ \overrightarrow{AB} = (1, 1, 3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(1; 1; 3)$. Đáp án đúng là: C. $(1; 1; 3)$ Câu 12. Để tìm trung điểm của đoạn thẳng AB trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức tính trung điểm của hai điểm \( A(x_1, y_1, z_1) \) và \( B(x_2, y_2, z_2) \): \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: - \( A(2, -4, 3) \) - \( B(2, 2, 7) \) Tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng AB sẽ là: \[ M\left(\frac{2 + 2}{2}, \frac{-4 + 2}{2}, \frac{3 + 7}{2}\right) \] Ta thực hiện các phép tính: \[ M\left(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}, \frac{10}{2}\right) \] \[ M(2, -1, 5) \] Vậy trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là \( (2, -1, 5) \). Do đó, đáp án đúng là D. \( (2, -1, 5) \). Câu 13. Để tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, ta sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm của một tam giác. Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ được tính theo công thức: \[ G \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] Trong đó: - \( A(1, -2, 3) \) - \( B(-1, 2, 5) \) - \( C(0, 0, 1) \) Ta lần lượt tính các thành phần tọa độ của G: 1. Tính tọa độ x của G: \[ x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3} = \frac{1 + (-1) + 0}{3} = \frac{0}{3} = 0 \] 2. Tính tọa độ y của G: \[ y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3} = \frac{-2 + 2 + 0}{3} = \frac{0}{3} = 0 \] 3. Tính tọa độ z của G: \[ z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3} = \frac{3 + 5 + 1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] Vậy tọa độ của trọng tâm G là: \[ G(0, 0, 3) \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( G(0, 0, 3) \) Câu 14. Trước tiên, ta xác định các điểm trên hình lập phương ABCD.EFGH: - Điểm A, B, C, D nằm trên mặt đáy. - Điểm E, F, G, H nằm trên mặt trên. - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ nằm trên mặt đáy và song song với cạnh AB. - Vectơ $\overrightarrow{BG}$ nằm trên mặt bên và song song với cạnh BG. Bây giờ, ta xác định góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BG}$: - Ta thấy rằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ nằm trên mặt đáy và vectơ $\overrightarrow{BG}$ nằm trên mặt bên. - Mặt đáy và mặt bên của hình lập phương vuông góc với nhau, do đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BG}$ là 90°. Vậy góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BG}$ là 90°. Đáp án đúng là: A. 90°. Câu 15. Để xác định đồ thị của hàm số nào có dạng như đường cong trong hình, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. A. \( y = x^3 - 3x \) - Hàm số này là một hàm bậc ba, có dạng \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \). - Đạo hàm của hàm số này là \( y' = 3x^2 - 3 \). - Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] - Ta có: - \( y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \) - \( y(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \) - Do đó, hàm số này có hai điểm cực trị ở \( x = -1 \) và \( x = 1 \), với giá trị cực đại là 2 và giá trị cực tiểu là -2. - Đồ thị của hàm số này có dạng S, không giống như đường cong trong hình. B. \( y = -x^3 + 3x \) - Hàm số này cũng là một hàm bậc ba, có dạng \( y = -ax^3 + bx^2 + cx + d \). - Đạo hàm của hàm số này là \( y' = -3x^2 + 3 \). - Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] - Ta có: - \( y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) = 1 - 3 = -2 \) - \( y(1) = -(1)^3 + 3(1) = -1 + 3 = 2 \) - Do đó, hàm số này có hai điểm cực trị ở \( x = -1 \) và \( x = 1 \), với giá trị cực đại là 2 và giá trị cực tiểu là -2. - Đồ thị của hàm số này có dạng S, không giống như đường cong trong hình. C. \( y = x^4 - 2x^2 \) - Hàm số này là một hàm bậc bốn, có dạng \( y = ax^4 + bx^2 + c \). - Đạo hàm của hàm số này là \( y' = 4x^3 - 4x \). - Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 4x^3 - 4x = 0 \implies 4x(x^2 - 1) = 0 \implies x = 0, \pm 1 \] - Ta có: - \( y(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0 \) - \( y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1 \) - \( y(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1 \) - Do đó, hàm số này có ba điểm cực trị ở \( x = 0 \), \( x = -1 \), và \( x = 1 \), với giá trị cực đại là 0 và giá trị cực tiểu là -1. - Đồ thị của hàm số này có dạng W, không giống như đường cong trong hình. D. \( y = -x^4 + 2x^2 \) - Hàm số này cũng là một hàm bậc bốn, có dạng \( y = -ax^4 + bx^2 + c \). - Đạo hàm của hàm số này là \( y' = -4x^3 + 4x \). - Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -4x^3 + 4x = 0 \implies -4x(x^2 - 1) = 0 \implies x = 0, \pm 1 \] - Ta có: - \( y(0) = -(0)^4 + 2(0)^2 = 0 \) - \( y(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^2 = -1 + 2 = 1 \) - \( y(1) = -(1)^4 + 2(1)^2 = -1 + 2 = 1 \) - Do đó, hàm số này có ba điểm cực trị ở \( x = 0 \), \( x = -1 \), và \( x = 1 \), với giá trị cực đại là 1 và giá trị cực tiểu là 0. - Đồ thị của hàm số này có dạng W, giống như đường cong trong hình. Vậy đáp án đúng là: D. \( y = -x^4 + 2x^2 \). Câu 16. Để tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{BC}$, ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng Oxy. Bước 1: Xác định tọa độ của hai điểm B và C. - Điểm B có tọa độ (-1; 3) - Điểm C có tọa độ (3; 1) Bước 2: Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Bước 3: Thay tọa độ của điểm B và C vào công thức: \[ d = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 3)^2} \] \[ d = \sqrt{(3 + 1)^2 + (1 - 3)^2} \] \[ d = \sqrt{4^2 + (-2)^2} \] \[ d = \sqrt{16 + 4} \] \[ d = \sqrt{20} \] \[ d = 2\sqrt{5} \] Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{BC}$ là $2\sqrt{5}$. Đáp án đúng là: B. $2\sqrt{5}$.