giúp e vs ak $x-1$ $x-1$ $AND$ $x+1$,2) Cho $A(2;-1;-2),~B(1;1;-1),~C(-1;3;2).$ a) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.,b) Tìm độ dài $\overrightarrow u=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}$ c) Cho $D(x;y+1;-1).$ Tìm x, y sao cho A, B, D thẳng hàng.,d) Tìm E thuộc đoạn BC sao cho $EC=4EB.$ 1) Tìm độ dài BF, biết F thuộc đoạn AC sao cho,g) Tìm tọa độ chân đường cao H hạ từ đỉnh B của $\Delta ABC$ h) Tìm độ dài đường cao AK của $FC=2FB.$,3) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tử phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn của các mẵn cA t: ua $\Delta ABC$

Question

Accepted Answer

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Trong hình bình hành, vectơ đối diện bằng nhau. Do đó:
$$ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} $$

Tính $\overrightarrow{BC}$:
$$ \overrightarrow{BC} = C - B = (-1 - 1; 3 - 1; 2 + 1) = (-2; 2; 3) $$

Tính $\overrightarrow{AD}$:
$$ \overrightarrow{AD} = D - A $$
$$ D - A = (-2; 2; 3) $$
$$ D = A + (-2; 2; 3) = (2; -1; -2) + (-2; 2; 3) = (0; 1; 1) $$

Vậy tọa độ điểm D là:
$$ D(0; 1; 1) $$

b) Tìm độ dài $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}$.

Tính $\overrightarrow{AB}$:
$$ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 2; 1 + 1; -1 + 2) = (-1; 2; 1) $$

Tính $\overrightarrow{CB}$:
$$ \overrightarrow{CB} = B - C = (1 + 1; 1 - 3; -1 - 2) = (2; -2; -3) $$

Tính $\overrightarrow{u}$:
$$ \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = 2(-1; 2; 1) - (2; -2; -3) = (-2; 4; 2) - (2; -2; -3) = (-4; 6; 5) $$

Độ dài $\overrightarrow{u}$:
$$ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{(-4)^2 + 6^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 36 + 25} = \sqrt{77} $$

c) Cho $D(x; y + 1; -1)$. Tìm x, y sao cho A, B, D thẳng hàng.

Điều kiện để ba điểm thẳng hàng là:
$$ \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AD} $$

Tính $\overrightarrow{AD}$:
$$ \overrightarrow{AD} = D - A = (x - 2; y + 1 + 1; -1 + 2) = (x - 2; y + 2; 1) $$

Ta có:
$$ (-1; 2; 1) = k \cdot (x - 2; y + 2; 1) $$

So sánh từng thành phần:
$$ -1 = k(x - 2) $$
$$ 2 = k(y + 2) $$
$$ 1 = k $$

Từ $1 = k$, ta thay vào hai phương trình còn lại:
$$ -1 = 1 \cdot (x - 2) \Rightarrow x - 2 = -1 \Rightarrow x = 1 $$
$$ 2 = 1 \cdot (y + 2) \Rightarrow y + 2 = 2 \Rightarrow y = 0 $$

Vậy $x = 1$ và $y = 0$.

d) Tìm E thuộc đoạn BC sao cho $EC = 4EB$.

Gọi E có tọa độ $(x_E; y_E; z_E)$. Ta có:
$$ \overrightarrow{BE} = \frac{1}{5} \overrightarrow{BC} $$

Tính $\overrightarrow{BC}$:
$$ \overrightarrow{BC} = (-2; 2; 3) $$

Tính $\overrightarrow{BE}$:
$$ \overrightarrow{BE} = \frac{1}{5} (-2; 2; 3) = \left( -\frac{2}{5}; \frac{2}{5}; \frac{3}{5} \right) $$

Tính tọa độ E:
$$ E = B + \overrightarrow{BE} = (1; 1; -1) + \left( -\frac{2}{5}; \frac{2}{5}; \frac{3}{5} \right) = \left( \frac{3}{5}; \frac{7}{5}; -\frac{2}{5} \right) $$

Vậy tọa độ điểm E là:
$$ E \left( \frac{3}{5}; \frac{7}{5}; -\frac{2}{5} \right) $$

g) Tìm tọa độ chân đường cao H hạ từ đỉnh B của $\Delta ABC$.

Đường cao từ B vuông góc với AC. Ta có:
$$ \overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{AC} $$

Tính $\overrightarrow{AC}$:
$$ \overrightarrow{AC} = C - A = (-1 - 2; 3 + 1; 2 + 2) = (-3; 4; 4) $$

Gọi H có tọa độ $(x_H; y_H; z_H)$. Ta có:
$$ \overrightarrow{BH} = (x_H - 1; y_H - 1; z_H + 1) $$

Điều kiện vuông góc:
$$ \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 $$
$$ (x_H - 1)(-3) + (y_H - 1)4 + (z_H + 1)4 = 0 $$
$$ -3x_H + 3 + 4y_H - 4 + 4z_H + 4 = 0 $$
$$ -3x_H + 4y_H + 4z_H + 3 = 0 $$

H nằm trên đường thẳng BC:
$$ \overrightarrow{BH} = k \overrightarrow{BC} $$
$$ (x_H - 1; y_H - 1; z_H + 1) = k(-2; 2; 3) $$

So sánh từng thành phần:
$$ x_H - 1 = -2k $$
$$ y_H - 1 = 2k $$
$$ z_H + 1 = 3k $$

Thay vào phương trình vuông góc:
$$ -3(-2k + 1) + 4(2k + 1) + 4(3k - 1) + 3 = 0 $$
$$ 6k - 3 + 8k + 4 + 12k - 4 + 3 = 0 $$
$$ 26k = 0 $$
$$ k = 0 $$

Do đó:
$$ x_H = 1 $$
$$ y_H = 1 $$
$$ z_H = -1 $$

Vậy tọa độ chân đường cao H là:
$$ H(1; 1; -1) $$

h) Tìm độ dài đường cao AK của $\Delta ABC$.

Đường cao AK vuông góc với BC. Ta có:
$$ \overrightarrow{AK} \perp \overrightarrow{BC} $$

Tính $\overrightarrow{BC}$:
$$ \overrightarrow{BC} = (-2; 2; 3) $$

Gọi K có tọa độ $(x_K; y_K; z_K)$. Ta có:
$$ \overrightarrow{AK} = (x_K - 2; y_K + 1; z_K + 2) $$

Điều kiện vuông góc:
$$ \overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 $$
$$ (x_K - 2)(-2) + (y_K + 1)2 + (z_K + 2)3 = 0 $$
$$ -2x_K + 4 + 2y_K + 2 + 3z_K + 6 = 0 $$
$$ -2x_K + 2y_K + 3z_K + 12 = 0 $$

K nằm trên đường thẳng BC:
$$ \overrightarrow{BK} = m \overrightarrow{BC} $$
$$ (x_K - 1; y_K - 1; z_K + 1) = m(-2; 2; 3) $$

So sánh từng thành phần:
$$ x_K - 1 = -2m $$
$$ y_K - 1 = 2m $$
$$ z_K + 1 = 3m $$

Thay vào phương trình vuông góc:
$$ -2(-2m + 1) + 2(2m + 1) + 3(3m - 1) + 12 = 0 $$
$$ 4m - 2 + 4m + 2 + 9m - 3 + 12 = 0 $$
$$ 17m + 9 = 0 $$
$$ m = -\frac{9}{17} $$

Do đó:
$$ x_K = 1 - 2 \left( -\frac{9}{17} \right) = 1 + \frac{18}{17} = \frac{35}{17} $$
$$ y_K = 1 + 2 \left( -\frac{9}{17} \right) = 1 - \frac{18}{17} = -\frac{1}{17} $$
$$ z_K = -1 + 3 \left( -\frac{9}{17} \right) = -1 - \frac{27}{17} = -\frac{44}{17} $$

Vậy tọa độ chân đường cao K là:
$$ K \left( \frac{35}{17}; -\frac{1}{17}; -\frac{44}{17} \right) $$

Độ dài đường cao AK:
$$ AK = \sqrt{\left( \frac{35}{17} - 2 \right)^2 + \left( -\frac{1}{17} + 1 \right)^2 + \left( -\frac{44}{17} + 2 \right)^2} $$
$$ = \sqrt{\left( \frac{35}{17} - \frac{34}{17} \right)^2 + \left( -\frac{1}{17} + \frac{17}{17} \right)^2 + \left( -\frac{44}{17} + \frac{34}{17} \right)^2} $$
$$ = \sqrt{\left( \frac{1}{17} \right)^2 + \left( \frac{16}{17} \right)^2 + \left( -\frac{10}{17} \right)^2} $$
$$ = \sqrt{\frac{1}{289} + \frac{256}{289} + \frac{100}{289}} $$
$$ = \sqrt{\frac{357}{289}} $$
$$ = \sqrt{\frac{357}{289}} = \frac{\sqrt{357}}{17} $$

Vậy độ dài đường cao AK là:
$$ AK = \frac{\sqrt{357}}{17} $$