giúp e vs ak

a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Trong hình bình hành, vectơ đối diện bằng nhau. Do đó: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] Tính \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-1 - 1; 3 - 1; 2 + 1) = (-2; 2; 3) \] Tính \(\overrightarrow{AD}\): \[ \overrightarrow{AD} = D - A \] \[ D - A = (-2; 2; 3) \] \[ D = A + (-2; 2; 3) = (2; -1; -2) + (-2; 2; 3) = (0; 1; 1) \] Vậy tọa độ điểm D là: \[ D(0; 1; 1) \] b) Tìm độ dài \(\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}\). Tính \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 2; 1 + 1; -1 + 2) = (-1; 2; 1) \] Tính \(\overrightarrow{CB}\): \[ \overrightarrow{CB} = B - C = (1 + 1; 1 - 3; -1 - 2) = (2; -2; -3) \] Tính \(\overrightarrow{u}\): \[ \overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = 2(-1; 2; 1) - (2; -2; -3) = (-2; 4; 2) - (2; -2; -3) = (-4; 6; 5) \] Độ dài \(\overrightarrow{u}\): \[ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{(-4)^2 + 6^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 36 + 25} = \sqrt{77} \] c) Cho \(D(x; y + 1; -1)\). Tìm x, y sao cho A, B, D thẳng hàng. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng là: \[ \overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{AD} \] Tính \(\overrightarrow{AD}\): \[ \overrightarrow{AD} = D - A = (x - 2; y + 1 + 1; -1 + 2) = (x - 2; y + 2; 1) \] Ta có: \[ (-1; 2; 1) = k \cdot (x - 2; y + 2; 1) \] So sánh từng thành phần: \[ -1 = k(x - 2) \] \[ 2 = k(y + 2) \] \[ 1 = k \] Từ \(1 = k\), ta thay vào hai phương trình còn lại: \[ -1 = 1 \cdot (x - 2) \Rightarrow x - 2 = -1 \Rightarrow x = 1 \] \[ 2 = 1 \cdot (y + 2) \Rightarrow y + 2 = 2 \Rightarrow y = 0 \] Vậy \(x = 1\) và \(y = 0\). d) Tìm E thuộc đoạn BC sao cho \(EC = 4EB\). Gọi E có tọa độ \((x_E; y_E; z_E)\). Ta có: \[ \overrightarrow{BE} = \frac{1}{5} \overrightarrow{BC} \] Tính \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = (-2; 2; 3) \] Tính \(\overrightarrow{BE}\): \[ \overrightarrow{BE} = \frac{1}{5} (-2; 2; 3) = \left( -\frac{2}{5}; \frac{2}{5}; \frac{3}{5} \right) \] Tính tọa độ E: \[ E = B + \overrightarrow{BE} = (1; 1; -1) + \left( -\frac{2}{5}; \frac{2}{5}; \frac{3}{5} \right) = \left( \frac{3}{5}; \frac{7}{5}; -\frac{2}{5} \right) \] Vậy tọa độ điểm E là: \[ E \left( \frac{3}{5}; \frac{7}{5}; -\frac{2}{5} \right) \] g) Tìm tọa độ chân đường cao H hạ từ đỉnh B của \(\Delta ABC\). Đường cao từ B vuông góc với AC. Ta có: \[ \overrightarrow{BH} \perp \overrightarrow{AC} \] Tính \(\overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-1 - 2; 3 + 1; 2 + 2) = (-3; 4; 4) \] Gọi H có tọa độ \((x_H; y_H; z_H)\). Ta có: \[ \overrightarrow{BH} = (x_H - 1; y_H - 1; z_H + 1) \] Điều kiện vuông góc: \[ \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \] \[ (x_H - 1)(-3) + (y_H - 1)4 + (z_H + 1)4 = 0 \] \[ -3x_H + 3 + 4y_H - 4 + 4z_H + 4 = 0 \] \[ -3x_H + 4y_H + 4z_H + 3 = 0 \] H nằm trên đường thẳng BC: \[ \overrightarrow{BH} = k \overrightarrow{BC} \] \[ (x_H - 1; y_H - 1; z_H + 1) = k(-2; 2; 3) \] So sánh từng thành phần: \[ x_H - 1 = -2k \] \[ y_H - 1 = 2k \] \[ z_H + 1 = 3k \] Thay vào phương trình vuông góc: \[ -3(-2k + 1) + 4(2k + 1) + 4(3k - 1) + 3 = 0 \] \[ 6k - 3 + 8k + 4 + 12k - 4 + 3 = 0 \] \[ 26k = 0 \] \[ k = 0 \] Do đó: \[ x_H = 1 \] \[ y_H = 1 \] \[ z_H = -1 \] Vậy tọa độ chân đường cao H là: \[ H(1; 1; -1) \] h) Tìm độ dài đường cao AK của \(\Delta ABC\). Đường cao AK vuông góc với BC. Ta có: \[ \overrightarrow{AK} \perp \overrightarrow{BC} \] Tính \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = (-2; 2; 3) \] Gọi K có tọa độ \((x_K; y_K; z_K)\). Ta có: \[ \overrightarrow{AK} = (x_K - 2; y_K + 1; z_K + 2) \] Điều kiện vuông góc: \[ \overrightarrow{AK} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \] \[ (x_K - 2)(-2) + (y_K + 1)2 + (z_K + 2)3 = 0 \] \[ -2x_K + 4 + 2y_K + 2 + 3z_K + 6 = 0 \] \[ -2x_K + 2y_K + 3z_K + 12 = 0 \] K nằm trên đường thẳng BC: \[ \overrightarrow{BK} = m \overrightarrow{BC} \] \[ (x_K - 1; y_K - 1; z_K + 1) = m(-2; 2; 3) \] So sánh từng thành phần: \[ x_K - 1 = -2m \] \[ y_K - 1 = 2m \] \[ z_K + 1 = 3m \] Thay vào phương trình vuông góc: \[ -2(-2m + 1) + 2(2m + 1) + 3(3m - 1) + 12 = 0 \] \[ 4m - 2 + 4m + 2 + 9m - 3 + 12 = 0 \] \[ 17m + 9 = 0 \] \[ m = -\frac{9}{17} \] Do đó: \[ x_K = 1 - 2 \left( -\frac{9}{17} \right) = 1 + \frac{18}{17} = \frac{35}{17} \] \[ y_K = 1 + 2 \left( -\frac{9}{17} \right) = 1 - \frac{18}{17} = -\frac{1}{17} \] \[ z_K = -1 + 3 \left( -\frac{9}{17} \right) = -1 - \frac{27}{17} = -\frac{44}{17} \] Vậy tọa độ chân đường cao K là: \[ K \left( \frac{35}{17}; -\frac{1}{17}; -\frac{44}{17} \right) \] Độ dài đường cao AK: \[ AK = \sqrt{\left( \frac{35}{17} - 2 \right)^2 + \left( -\frac{1}{17} + 1 \right)^2 + \left( -\frac{44}{17} + 2 \right)^2} \] \[ = \sqrt{\left( \frac{35}{17} - \frac{34}{17} \right)^2 + \left( -\frac{1}{17} + \frac{17}{17} \right)^2 + \left( -\frac{44}{17} + \frac{34}{17} \right)^2} \] \[ = \sqrt{\left( \frac{1}{17} \right)^2 + \left( \frac{16}{17} \right)^2 + \left( -\frac{10}{17} \right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{1}{289} + \frac{256}{289} + \frac{100}{289}} \] \[ = \sqrt{\frac{357}{289}} \] \[ = \sqrt{\frac{357}{289}} = \frac{\sqrt{357}}{17} \] Vậy độ dài đường cao AK là: \[ AK = \frac{\sqrt{357}}{17} \]