làm câu đúng sai

Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định các điểm M và N Điểm M: Ta có: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \] Chuyển đổi thành dạng tổng: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2(\overrightarrow{M} - \overrightarrow{C}) = \overrightarrow{0} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{M} - 2\overrightarrow{C} = \overrightarrow{0} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{M} = 2\overrightarrow{C} \] Nhóm lại: \[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{M} = 2\overrightarrow{C} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{M} + \overrightarrow{M} + \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{C} \] \[ \Rightarrow 3\overrightarrow{M} = 2\overrightarrow{C} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{M} = \frac{2}{3}\overrightarrow{C} \] Điểm N: Ta có: \[ 5\overrightarrow{NA} + 5\overrightarrow{NB} = 6\overrightarrow{NC} \] Chuyển đổi thành dạng tổng: \[ 5(\overrightarrow{N} - \overrightarrow{A}) + 5(\overrightarrow{N} - \overrightarrow{B}) = 6(\overrightarrow{N} - \overrightarrow{C}) \] \[ \Rightarrow 5\overrightarrow{N} - 5\overrightarrow{A} + 5\overrightarrow{N} - 5\overrightarrow{B} = 6\overrightarrow{N} - 6\overrightarrow{C} \] \[ \Rightarrow 10\overrightarrow{N} - 5\overrightarrow{A} - 5\overrightarrow{B} = 6\overrightarrow{N} - 6\overrightarrow{C} \] \[ \Rightarrow 4\overrightarrow{N} = 5\overrightarrow{A} + 5\overrightarrow{B} - 6\overrightarrow{C} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{N} = \frac{5}{4}\overrightarrow{A} + \frac{5}{4}\overrightarrow{B} - \frac{3}{2}\overrightarrow{C} \] Bước 2: Xác định điểm K Điểm K thuộc cạnh AC sao cho \( AK = 2KC \): \[ \overrightarrow{AK} = 2\overrightarrow{KC} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} = 2(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{K}) \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} = 2\overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{K} \] \[ \Rightarrow 3\overrightarrow{K} = \overrightarrow{A} + 2\overrightarrow{C} \] \[ \Rightarrow \overrightarrow{K} = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C} \] Bước 3: Kiểm tra các lựa chọn a) \( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} = 3\overrightarrow{GM} \) \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A} = \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \] \[ \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B} = \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{C} = \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \overrightarrow{C} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{C} \] Tổng: \[ \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} = \left( \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \right) + \left( \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \right) + \left( -\frac{1}{3}\overrightarrow{C} \right) \] \[ = \frac{2}{3}\overrightarrow{C} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \frac{1}{3}\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \] \[ = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \] Trọng tâm G: \[ \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \] \[ \overrightarrow{GM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{G} = \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \] \[ = \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \] \[ = \frac{2\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}}{3} \] \[ = \frac{\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}}{3} \] Nhân cả hai vế với 3: \[ 3\overrightarrow{GM} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \] Vậy: \[ \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} = 3\overrightarrow{GM} \] b) \( \overrightarrow{GK} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} \) \[ \overrightarrow{GK} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{G} \] \[ = \left( \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C} \right) - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \] \[ = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \] \[ = \frac{1}{3}\overrightarrow{A} + \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \frac{\overrightarrow{A}}{3} - \frac{\overrightarrow{B}}{3} - \frac{\overrightarrow{C}}{3} \] \[ = \frac{2}{3}\overrightarrow{C} - \frac{\overrightarrow{C}}{3} - \frac{\overrightarrow{B}}{3} \] \[ = \frac{\overrightarrow{C}}{3} - \frac{\overrightarrow{B}}{3} \] \[ = \frac{1}{3}(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) \] \[ = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \] c) \( \overrightarrow{AN} = \frac{5}{4}\overrightarrow{AB} - \frac{3}{2}\overrightarrow{AC} \) \[ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{A} \] \[ = \left( \frac{5}{4}\overrightarrow{A} + \frac{5}{4}\overrightarrow{B} - \frac{3}{2}\overrightarrow{C} \right) - \overrightarrow{A} \] \[ = \frac{5}{4}\overrightarrow{A} + \frac{5}{4}\overrightarrow{B} - \frac{3}{2}\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \] \[ = \frac{5}{4}\overrightarrow{A} - \overrightarrow{A} + \frac{5}{4}\overrightarrow{B} - \frac{3}{2}\overrightarrow{C} \] \[ = \frac{1}{4}\overrightarrow{A} + \frac{5}{4}\overrightarrow{B} - \frac{3}{2}\overrightarrow{C} \] d) M, N, G thẳng hàng Để kiểm tra M, N, G thẳng hàng, ta cần kiểm tra xem có tồn tại số thực \( k \) sao cho: \[ \overrightarrow{MN} = k \overrightarrow{MG} \] \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} \] \[ = \left( \frac{5}{4}\overrightarrow{A} + \frac{5}{4}\overrightarrow{B} - \frac{3}{2}\overrightarrow{C} \right) - \left( \frac{2}{3}\overrightarrow{C} \right) \] \[ = \frac{5}{4}\overrightarrow{A} + \frac{5}{4}\overrightarrow{B} - \frac{3}{2}\overrightarrow{C} - \frac{2}{3}\overrightarrow{C} \] \[ = \frac{5}{4}\overrightarrow{A} + \frac{5}{4}\overrightarrow{B} - \left( \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \right)\overrightarrow{C} \] \[ = \frac{5}{4}\overrightarrow{A} + \frac{5}{4}\overrightarrow{B} - \frac{13}{6}\overrightarrow{C} \] \[ \overrightarrow{MG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{M} \] \[ = \left( \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} \right) - \left( \frac{2}{3}\overrightarrow{C} \right) \] \[ = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} - \frac{2}{3}\overrightarrow{C} \] \[ = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{C}}{3} \] \[ = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}}{3} \] Kiểm tra: \[ \overrightarrow{MN} = k \overrightarrow{MG} \] \[ \frac{5}{4}\overrightarrow{A} + \frac{5}{4}\overrightarrow{B} - \frac{13}{6}\overrightarrow{C} = k \left( \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}}{3} \right) \] Phương trình này không thể đúng vì các hệ số không tương ứng. Kết luận: - Đáp án đúng là: a) \( \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CM} = 3\overrightarrow{GM} \) Đáp án: a)