Giải bài tập

Câu 31: Để tìm tọa độ của $\overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{d} + 2\overrightarrow{b} - 4\overrightarrow{c}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tọa độ của các vectơ đã cho: - $\overrightarrow{d} = (0, 1)$ - $\overrightarrow{b} = (-1, 2)$ - $\overrightarrow{c} = (-3, -2)$ Bước 2: Nhân mỗi vectơ với hệ số tương ứng: - $3\overrightarrow{d} = 3(0, 1) = (0, 3)$ - $2\overrightarrow{b} = 2(-1, 2) = (-2, 4)$ - $-4\overrightarrow{c} = -4(-3, -2) = (12, 8)$ Bước 3: Cộng các vectơ lại theo từng thành phần: - Tọa độ x: $0 + (-2) + 12 = 10$ - Tọa độ y: $3 + 4 + 8 = 15$ Vậy tọa độ của $\overrightarrow{a}$ là $(10, 15)$. Do đó, đáp án đúng là: C. 10; 15 Câu 32: Để tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$: - Tọa độ của điểm A là (0, 3) - Tọa độ của điểm B là (4, 0) - Tọa độ của điểm C là (-2, -5) Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (4 - 0, 0 - 3) = (4, -3) \] \[ \overrightarrow{BC} = (-2 - 4, -5 - 0) = (-6, -5) \] 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$: \[ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC} = 4 \times (-6) + (-3) \times (-5) \] \[ = -24 + 15 \] \[ = -9 \] Vậy đáp án đúng là D. -9. Câu 33: Để chọn khẳng định sai về vectơ-không, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối khác nhau. - Đây là khẳng định sai vì vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, không phải khác nhau. B. Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. - Đây là khẳng định đúng vì vectơ-không được định nghĩa là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. C. Vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. - Đây là khẳng định đúng vì vectơ-không không có hướng cụ thể, do đó nó được coi là cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ. D. Vectơ-không có độ dài bằng 0. - Đây là khẳng định đúng vì vectơ-không có độ dài bằng 0. Vậy khẳng định sai là: A. Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối khác nhau. Đáp án: A. Câu 34: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một cách chi tiết. A. Các làn đường chạy song song với nhau. - Quan sát hình vẽ, ta thấy các làn đường chạy thẳng hàng và không giao nhau, do đó khẳng định này là đúng. B. Các xe chạy theo cùng một hướng. - Quan sát hình vẽ, ta thấy các xe chạy theo hai hướng khác nhau, một số xe chạy từ trái sang phải và một số xe chạy từ phải sang trái. Do đó khẳng định này là sai. C. Hai xe bất kỳ đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau. - Quan sát hình vẽ, ta thấy các xe chạy theo hai hướng khác nhau, một số xe chạy từ trái sang phải và một số xe chạy từ phải sang trái. Do đó khẳng định này là đúng vì hai xe bất kỳ đều chạy theo cùng một hướng hoặc hai hướng ngược nhau. D. Có ba xe chạy theo cùng một hướng. - Quan sát hình vẽ, ta thấy có ba xe chạy từ trái sang phải và ba xe chạy từ phải sang trái. Do đó khẳng định này là đúng. Từ những phân tích trên, khẳng định sai là: B. Các xe chạy theo cùng một hướng. Đáp án: B. Các xe chạy theo cùng một hướng. Câu 35: Trong tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác. Theo tính chất của trọng tâm, ta có: \[ \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \] Đây là đẳng thức đúng vì trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, và tổng các vectơ từ trọng tâm đến các đỉnh của tam giác bằng vectơ null. Do đó, đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ Câu 36: Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một để tìm ra đẳng thức đúng. A. $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BD}$ - Ta có $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}$ là tổng hai vectơ từ B đến C và từ B đến A. - Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}$ không bằng $\overrightarrow{BD}$ vì $\overrightarrow{BD}$ là vectơ từ B đến D, không liên quan trực tiếp đến tổng của $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BA}$. B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CA}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ là tổng hai vectơ từ A đến B và từ A đến D. - Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ không bằng $\overrightarrow{CA}$ vì $\overrightarrow{CA}$ là vectơ từ C đến A, không liên quan trực tiếp đến tổng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$. C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}$ - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ là tổng hai vectơ từ A đến B và từ B đến C. - Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ không bằng $\overrightarrow{CA}$ vì $\overrightarrow{CA}$ là vectơ từ C đến A, không liên quan trực tiếp đến tổng của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$. D. $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ - Ta có $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}$ là tổng hai vectơ từ B đến A và từ A đến D. - Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD}$ bằng $\overrightarrow{AC}$ vì $\overrightarrow{AC}$ là vectơ từ A đến C, và theo quy tắc hình bình hành, tổng của $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{AD}$ chính là $\overrightarrow{AC}$. Vậy đẳng thức đúng là: D. $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$ Câu 37: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định mối quan hệ giữa các véctơ: - Ta biết rằng $\overrightarrow{AB} = 10\overrightarrow{AC}$, điều này có nghĩa là véctơ $\overrightarrow{AB}$ có độ dài gấp 10 lần véctơ $\overrightarrow{AC}$ và cùng phương với nó. 2. Xác định phương hướng của các véctơ: - Vì $\overrightarrow{AB} = 10\overrightarrow{AC}$, nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương và cùng hướng. 3. Kiểm tra các khẳng định: - Khẳng định A: $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng $\overrightarrow{AC}$. Đúng. - Khẳng định B: $\overrightarrow{AB}$ cùng phương $\overrightarrow{AC}$. Đúng. - Khẳng định C: $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng $\overrightarrow{AC}$. Sai. - Khẳng định D: Ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. Sai vì nếu $\overrightarrow{AB} = 10\overrightarrow{AC}$ thì ba điểm A, B, C thẳng hàng. 4. Tính độ dài của tổng hai véctơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$: - Ta có $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 10\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC} = 11\overrightarrow{AC}$. - Độ dài của $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ là $11$ lần độ dài của $\overrightarrow{AC}$. Vậy khẳng định đúng là: - A. $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng $\overrightarrow{AC}$. - B. $\overrightarrow{AB}$ cùng phương $\overrightarrow{AC}$. Độ dài của tổng hai véctơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là $11$ lần độ dài của $\overrightarrow{AC}$. Câu 38: Trước tiên, ta xác định rằng tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, nghĩa là góc BAC = 90° và AB = AC = a. Ta cần tính độ dài cạnh huyền BC của tam giác ABC. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] Thay giá trị của AB và AC vào: \[ BC^2 = a^2 + a^2 \] \[ BC^2 = 2a^2 \] Lấy căn bậc hai cả hai vế: \[ BC = \sqrt{2a^2} \] \[ BC = a\sqrt{2} \] Vậy độ dài cạnh huyền BC là \( a\sqrt{2} \). Đáp án đúng là: A. \( a\sqrt{2} \). Câu 39: Trong hệ tọa độ \( O; \vec{i}; \vec{j} \), ta có vectơ \(\vec{a}\) được viết dưới dạng: \[ \vec{a} = 2\vec{i} - 4\vec{j} \] Tọa độ của vectơ \(\vec{a}\) sẽ là cặp số đại diện cho các thành phần của nó theo các vectơ cơ bản \(\vec{i}\) và \(\vec{j}\). Do đó, tọa độ của \(\vec{a}\) là: \[ \vec{a} = (2, -4) \] Vậy đáp án đúng là: A. \(\vec{a} = (2, -4)\). Đáp án: A. \(\vec{a} = (2, -4)\).