$3\sqrt{45}-7\sqrt{125}+\sqrt{500}+16\sqrt{9-4\sqrt{5}}$=?

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các phép biến đổi và rút gọn từng phần của biểu thức. Bước 1: Rút gọn các căn bậc hai: \[ 3\sqrt{45} = 3\sqrt{9 \times 5} = 3 \times 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5} \] \[ 7\sqrt{125} = 7\sqrt{25 \times 5} = 7 \times 5\sqrt{5} = 35\sqrt{5} \] \[ \sqrt{500} = \sqrt{100 \times 5} = 10\sqrt{5} \] Bước 2: Rút gọn biểu thức \( 16\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \): Chúng ta nhận thấy rằng \( 9 - 4\sqrt{5} \) có thể được viết dưới dạng bình phương của một biểu thức. Ta thử tìm \( a \) và \( b \) sao cho: \[ 9 - 4\sqrt{5} = (a - b\sqrt{5})^2 \] \[ 9 - 4\sqrt{5} = a^2 + 5b^2 - 2ab\sqrt{5} \] So sánh hệ số, ta có: \[ a^2 + 5b^2 = 9 \] \[ -2ab = -4 \] Giải hệ phương trình này, ta tìm được \( a = 2 \) và \( b = 1 \). Vậy: \[ 9 - 4\sqrt{5} = (2 - \sqrt{5})^2 \] Do đó: \[ 16\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = 16\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = 16(2 - \sqrt{5}) = 32 - 16\sqrt{5} \] Bước 3: Thay các giá trị đã rút gọn vào biểu thức ban đầu: \[ 3\sqrt{45} - 7\sqrt{125} + \sqrt{500} + 16\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} \] \[ = 9\sqrt{5} - 35\sqrt{5} + 10\sqrt{5} + 32 - 16\sqrt{5} \] Bước 4: Rút gọn biểu thức: \[ = (9 - 35 + 10 - 16)\sqrt{5} + 32 \] \[ = -32\sqrt{5} + 32 \] Vậy giá trị của biểu thức là: \[ 32 - 32\sqrt{5} \]