Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC, vẽ đg cao AH. Vẽ HE_I_AB, HF_I_AC A) Cm tg AEHF là hcn B) Gọi M là trung điểm của HB, gọi K là điểm đối xứng của A qua M. Cm tam giác CKB vuông C) Cm CK^2 = AH^2...

A) Chứng minh tam giác AEHF là hình chữ nhật: - Ta có $\widehat{HAE} = \widehat{HAF} = 90^\circ$ (vì HE và HF lần lượt vuông góc với AB và AC). - Tam giác AEHF có ba góc vuông, do đó AEHF là hình chữ nhật. B) Chứng minh tam giác CKB vuông: - Vì M là trung điểm của HB, nên AM = MB. - Điểm K đối xứng với A qua M, do đó AK = 2AM. - Xét tam giác ABH và tam giác CBH: - $\widehat{ABH} = \widehat{CBH}$ (cùng phụ với $\widehat{ABC}$). - $\widehat{AHB} = \widehat{CHB} = 90^\circ$ (vì AH là đường cao). - Do đó, tam giác ABH và tam giác CBH đồng dạng theo trường hợp góc - góc. - Từ đó ta có $\frac{AH}{BH} = \frac{BH}{CH}$, suy ra $AH \cdot CH = BH^2$. - Xét tam giác AKH và tam giác CHK: - $\widehat{AKH} = \widehat{CHK}$ (cùng phụ với $\widehat{AKC}$). - $\widehat{AHK} = \widehat{CHK}$ (cùng phụ với $\widehat{AHB}$). - Do đó, tam giác AKH và tam giác CHK đồng dạng theo trường hợp góc - góc. - Từ đó ta có $\frac{AK}{KH} = \frac{CH}{HK}$, suy ra $AK \cdot HK = CH \cdot HK$. - Kết hợp với $AH \cdot CH = BH^2$, ta có $AK \cdot HK = BH^2$. - Vì AK = 2AM và HK = 2MB, nên $AK \cdot HK = 4AM \cdot MB = 4 \cdot \frac{1}{2} BH \cdot \frac{1}{2} BH = BH^2$. - Do đó, tam giác CKB vuông tại K. C) Chứng minh $CK^2 = AH^2 + AB^2 + AC^2$: - Ta có $CK^2 = CH^2 + HK^2$ (theo định lý Pythagoras trong tam giác CHK). - Ta cũng có $CH^2 = AH^2 + AC^2$ (theo định lý Pythagoras trong tam giác AHC). - Ta có $HK^2 = AH^2 + AB^2$ (theo định lý Pythagoras trong tam giác AHK). - Kết hợp lại, ta có $CK^2 = (AH^2 + AC^2) + (AH^2 + AB^2) = AH^2 + AB^2 + AC^2$.