helllllllllllllllllllllpp

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của phân số và đại lượng tỉ lệ. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Các biến \(a\), \(b\), và \(c\) đều khác 0 để đảm bảo các phân số \( \frac{a}{b} \), \( \frac{b}{c} \), và \( \frac{c}{a} \) có nghĩa. Bước 2: Sử dụng tính chất của đại lượng tỉ lệ - Ta có \( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} \). - Điều này có nghĩa là \(a\), \(b\), và \(c\) là các đại lượng tỉ lệ với nhau. Do đó, ta có thể viết: \[ \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = k \] với \(k\) là hằng số tỉ lệ. Bước 3: Tìm giá trị của \(k\) - Từ \( \frac{a}{b} = k \), ta có \(a = kb\). - Từ \( \frac{b}{c} = k \), ta có \(b = kc\). - Từ \( \frac{c}{a} = k \), ta có \(c = ka\). Bước 4: Thay vào biểu thức \(M\) - Ta thay \(a = kb\), \(b = kc\), và \(c = ka\) vào biểu thức \(M\): \[ M = \frac{a^2 + b^2 + c^2}{(a + b + c)^2} \] Bước 5: Thay \(a\), \(b\), và \(c\) theo \(k\) - Ta có: \[ a = kb \] \[ b = kc \] \[ c = ka \] Do đó: \[ a = k(kc) = k^2c \] \[ b = kc \] \[ c = ka \] Bước 6: Thay vào biểu thức \(M\) - Ta thay \(a = k^2c\), \(b = kc\), và \(c = c\) vào biểu thức \(M\): \[ M = \frac{(k^2c)^2 + (kc)^2 + c^2}{(k^2c + kc + c)^2} \] \[ M = \frac{k^4c^2 + k^2c^2 + c^2}{(k^2c + kc + c)^2} \] \[ M = \frac{c^2(k^4 + k^2 + 1)}{c^2(k^2 + k + 1)^2} \] \[ M = \frac{k^4 + k^2 + 1}{(k^2 + k + 1)^2} \] Bước 7: Tìm giá trị của \(k\) - Ta biết rằng \( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} = k \). - Điều này có nghĩa là \(k\) phải thỏa mãn \(k^3 = 1\). - Giải phương trình \(k^3 = 1\), ta có \(k = 1\). Bước 8: Thay \(k = 1\) vào biểu thức \(M\) - Ta có: \[ M = \frac{1^4 + 1^2 + 1}{(1^2 + 1 + 1)^2} \] \[ M = \frac{1 + 1 + 1}{(1 + 1 + 1)^2} \] \[ M = \frac{3}{3^2} \] \[ M = \frac{3}{9} \] \[ M = \frac{1}{3} \] Vậy giá trị của biểu thức \(M\) là \(\frac{1}{3}\).