Cần người giải hộ

Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tiếp tuyến và góc ở tâm của đường tròn. 1. Xác định các thông tin đã biết: - Tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O; R) cắt nhau tại M. - \( MA = R\sqrt{3} \). 2. Lập luận về các tính chất: - Vì MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OA và OB vuông góc với MA và MB tại điểm tiếp xúc A và B. - Do đó, \(\angle OAM = \angle OBM = 90^\circ\). 3. Xét tam giác OAM: - Tam giác OAM là tam giác vuông tại A. - Biết \( MA = R\sqrt{3} \) và \( OA = R \). 4. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OAM: \[ OM^2 = OA^2 + MA^2 \] Thay các giá trị vào: \[ OM^2 = R^2 + (R\sqrt{3})^2 = R^2 + 3R^2 = 4R^2 \] Vậy: \[ OM = 2R \] 5. Xét tam giác OMB: - Tam giác OMB cũng là tam giác vuông tại B. - Biết \( MB = R\sqrt{3} \) và \( OB = R \). 6. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OMB: \[ OM^2 = OB^2 + MB^2 \] Thay các giá trị vào: \[ OM^2 = R^2 + (R\sqrt{3})^2 = R^2 + 3R^2 = 4R^2 \] Vậy: \[ OM = 2R \] 7. Xét tam giác OAB: - Tam giác OAB là tam giác cân tại O (vì OA = OB = R). - Biết \( OM = 2R \) và \( MA = MB = R\sqrt{3} \). 8. Tính góc \(\angle AOB\): - Trong tam giác OAM, ta có: \[ \sin(\angle OAM) = \frac{OA}{OM} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2} \] - Vậy: \[ \angle OAM = 30^\circ \] - Vì tam giác OAM và OMB đều là tam giác vuông cân, nên: \[ \angle AOM = \angle BOM = 30^\circ \] - Suy ra: \[ \angle AOB = \angle AOM + \angle BOM = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ \] Đáp số: Số đo của \(\angle AOB\) là \(60^\circ\). Câu 3: Để đưa biểu thức $P=\frac{45}{10-5\sqrt3}$ về dạng $a+b\sqrt3$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân cả tử và mẫu của phân thức với biểu thức liên hợp của mẫu, tức là $10+5\sqrt3$. \[ P = \frac{45}{10-5\sqrt3} \times \frac{10+5\sqrt3}{10+5\sqrt3} \] Bước 2: Thực hiện phép nhân ở tử và mẫu. \[ P = \frac{45(10+5\sqrt3)}{(10-5\sqrt3)(10+5\sqrt3)} \] Bước 3: Tính mẫu số bằng cách sử dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. \[ (10-5\sqrt3)(10+5\sqrt3) = 10^2 - (5\sqrt3)^2 = 100 - 75 = 25 \] Bước 4: Tính tử số. \[ 45(10+5\sqrt3) = 45 \times 10 + 45 \times 5\sqrt3 = 450 + 225\sqrt3 \] Bước 5: Chia tử số cho mẫu số. \[ P = \frac{450 + 225\sqrt3}{25} = \frac{450}{25} + \frac{225\sqrt3}{25} = 18 + 9\sqrt3 \] Vậy $P = 18 + 9\sqrt3$. Trong đó, $a = 18$ và $b = 9$. Bước 6: Tính tích $a \cdot b$. \[ a \cdot b = 18 \cdot 9 = 162 \] Đáp số: $a \cdot b = 162$. Câu 4: Điều kiện xác định: \( x > 0, x \neq 1 \). Biểu thức \( P \) được viết lại như sau: \[ P = \left( \frac{x\sqrt{x} + x - 2}{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right) : \frac{1}{x\sqrt{x} - x} \] Chúng ta sẽ thực hiện phép chia trước: \[ P = \left( \frac{x\sqrt{x} + x - 2}{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right) \times (x\sqrt{x} - x) \] Phân tích biểu thức \( x\sqrt{x} - x \): \[ x\sqrt{x} - x = x(\sqrt{x} - 1) \] Do đó: \[ P = \left( \frac{x\sqrt{x} + x - 2}{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right) \times x(\sqrt{x} - 1) \] Chúng ta sẽ tìm \( x \) sao cho \( P = 2 \): \[ \left( \frac{x\sqrt{x} + x - 2}{x - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \right) \times x(\sqrt{x} - 1) = 2 \] Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ tìm giá trị của \( x \) bằng cách thử các giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện \( x > 0, x \neq 1 \). Thử \( x = 4 \): \[ \sqrt{4} = 2 \] \[ x\sqrt{x} = 4 \cdot 2 = 8 \] \[ x - 1 = 3 \] \[ \sqrt{x} + 1 = 2 + 1 = 3 \] Thay vào biểu thức: \[ \frac{8 + 4 - 2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{10}{3} - \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] \[ 3 \times 4 \times (2 - 1) = 3 \times 4 \times 1 = 12 \neq 2 \] Thử \( x = 2 \): \[ \sqrt{2} \approx 1.414 \] \[ x\sqrt{x} \approx 2 \cdot 1.414 = 2.828 \] \[ x - 1 = 1 \] \[ \sqrt{x} + 1 \approx 1.414 + 1 = 2.414 \] Thay vào biểu thức: \[ \frac{2.828 + 2 - 2}{1} - \frac{1}{2.414} \approx 2.828 - 0.414 = 2.414 \] \[ 2.414 \times 2 \times (1.414 - 1) \approx 2.414 \times 2 \times 0.414 \approx 2 \] Vậy \( x = 2 \) là giá trị thỏa mãn \( P = 2 \). Đáp số: \( x = 2 \). Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các góc của tam giác ABC. 2. Xác định các điểm và đường tròn liên quan. 3. Tính số đo của cung nhỏ MC. Bước 1: Xác định các góc của tam giác ABC. - Ta biết rằng tổng các góc trong một tam giác là 180°. - $\widehat{A} > 90^\circ$, $\widehat{C} = 20^\circ$. - Do đó, $\widehat{B} = 180^\circ - \widehat{A} - \widehat{C}$. Bước 2: Xác định các điểm và đường tròn liên quan. - Đường cao BH hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC. - Đường trung tuyến AM chia cạnh BC thành hai phần bằng nhau. - Đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác MHC. Bước 3: Tính số đo của cung nhỏ MC. - Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC. - Tam giác MHC nội tiếp đường tròn (O), do đó $\widehat{MHC} = \widehat{MCH}$. - Số đo của cung nhỏ MC bằng gấp đôi số đo góc nội tiếp đối diện với nó. Ta có: $\widehat{MHC} = \widehat{MCH} = \widehat{C} = 20^\circ$. Do đó, số đo của cung nhỏ MC là: $2 \times 20^\circ = 40^\circ$. Đáp số: Số đo của cung nhỏ MC là 40°. Câu 6: Để giải bất phương trình \(12 - 3x \leq 0\), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Chuyển số 12 sang phía bên phải của bất phương trình: \[ -3x \leq -12 \] 2. Chia cả hai vế của bất phương trình cho -3. Lưu ý rằng khi chia cho một số âm, dấu bất phương trình sẽ đổi chiều: \[ x \geq 4 \] Vậy nghiệm của bất phương trình \(12 - 3x \leq 0\) là \(x \geq 4\). Đáp số: \(x \geq 4\).