Cần người giải hộ

Câu 1: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( Q = \frac{1}{x - 2\sqrt{x} + 3} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức \( Q \) có dạng phân thức, do đó mẫu số phải khác 0: \[ x - 2\sqrt{x} + 3 \neq 0 \] - Ta thấy rằng \( x - 2\sqrt{x} + 3 \) luôn dương vì \( x \geq 0 \) và \( 3 \) là hằng số dương. Do đó, ĐKXĐ là \( x \geq 0 \). 2. Tìm giá trị lớn nhất của mẫu số \( x - 2\sqrt{x} + 3 \): - Gọi \( t = \sqrt{x} \), ta có \( x = t^2 \) và \( t \geq 0 \). - Biểu thức \( x - 2\sqrt{x} + 3 \) trở thành: \[ t^2 - 2t + 3 \] - Ta viết lại biểu thức này dưới dạng: \[ t^2 - 2t + 3 = (t - 1)^2 + 2 \] - Biểu thức \( (t - 1)^2 + 2 \) luôn lớn hơn hoặc bằng 2 vì \( (t - 1)^2 \geq 0 \) và \( 2 \) là hằng số dương. - Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( t^2 - 2t + 3 \) là 2, đạt được khi \( t = 1 \) (tức là \( x = 1 \)). 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( Q \): - Khi mẫu số \( x - 2\sqrt{x} + 3 \) đạt giá trị nhỏ nhất là 2, biểu thức \( Q \) sẽ đạt giá trị lớn nhất: \[ Q = \frac{1}{2} \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( Q \) là \( \frac{1}{2} \), đạt được khi \( x = 1 \). Đáp số: \( \frac{1}{2} \) Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và tam giác vuông. Bước 1: Xác định các thông tin đã cho: - Đường kính của đường tròn tâm O là 18 cm. - Độ dài đoạn MA là 12 cm. Bước 2: Xác định bán kính của đường tròn: - Bán kính của đường tròn tâm O là $\frac{18}{2} = 9$ cm. Bước 3: Xác định tính chất của tiếp tuyến: - Tiếp tuyến MA vuông góc với bán kính OA tại tiếp điểm A. Bước 4: Xác định tam giác vuông: - Tam giác OMA là tam giác vuông tại A. Bước 5: Áp dụng định lý Pythagoras để tính độ dài đoạn OM: - Trong tam giác vuông OMA, ta có: \[ OM^2 = OA^2 + MA^2 \] \[ OM^2 = 9^2 + 12^2 \] \[ OM^2 = 81 + 144 \] \[ OM^2 = 225 \] \[ OM = \sqrt{225} \] \[ OM = 15 \] Vậy độ dài đoạn OM là 15 cm. Đáp số: 15 cm. Câu 3: Điều kiện xác định: \( x \leq 5 \) Bước 1: Giải phương trình $(\sqrt{5-x})^2=4$: \[ 5 - x = 4 \] \[ x = 1 \] Bước 2: Kiểm tra điều kiện xác định: \( x = 1 \) thỏa mãn điều kiện \( x \leq 5 \). Vậy phương trình có 1 nghiệm là \( x = 1 \). Đáp số: Phương trình có 1 nghiệm \( x = 1 \). Câu 4: Để chứng minh rằng các điểm A, B, C thuộc cùng một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó, ta thực hiện các bước sau: 1. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông: Ta đã biết tam giác ABC vuông tại A với AB = 6 cm và AC = 8 cm. 2. Tính độ dài cạnh huyền BC: Áp dụng định lý Pythagoras: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \] 3. Chứng minh rằng các điểm A, B, C thuộc cùng một đường tròn: Trong tam giác vuông, cạnh huyền là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Vì vậy, đoạn thẳng BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 4. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp: Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là nửa đường kính của đường tròn, tức là: \[ R = \frac{BC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \] Kết luận: Các điểm A, B, C thuộc cùng một đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính của đường tròn đó là 5 cm. Câu 5: Để giải bất phương trình $12 - 3x \leq 0$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển số hạng 12 sang phía bên phải của bất phương trình: \[ 12 - 3x \leq 0 \] \[ -3x \leq -12 \] Bước 2: Chia cả hai vế của bất phương trình cho -3. Lưu ý rằng khi chia cho một số âm, dấu bất phương trình sẽ đổi chiều: \[ x \geq 4 \] Vậy nghiệm của bất phương trình $12 - 3x \leq 0$ là $x \geq 4$. Câu 6: Để tính giá trị biểu thức $\cos^230^0 + \cos^240^0 + \cos^250^0 + \cos^260^0$, ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Tính giá trị của từng cosin. - $\cos 30^0 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\cos 40^0$ không có giá trị đặc biệt nên để nguyên. - $\cos 50^0$ cũng không có giá trị đặc biệt nên để nguyên. - $\cos 60^0 = \frac{1}{2}$ Bước 2: Tính bình phương của từng giá trị cosin. - $\cos^2 30^0 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3}{4}$ - $\cos^2 40^0$ không có giá trị đặc biệt nên để nguyên. - $\cos^2 50^0$ cũng không có giá trị đặc biệt nên để nguyên. - $\cos^2 60^0 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$ Bước 3: Cộng các giá trị bình phương lại với nhau. - $\cos^2 30^0 + \cos^2 40^0 + \cos^2 50^0 + \cos^2 60^0 = \frac{3}{4} + \cos^2 40^0 + \cos^2 50^0 + \frac{1}{4}$ Bước 4: Gộp các phân số có thể gộp được. - $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ Vậy biểu thức trở thành: - $1 + \cos^2 40^0 + \cos^2 50^0$ Bước 5: Nhận thấy rằng $\cos 40^0 = \sin 50^0$ và $\cos 50^0 = \sin 40^0$. Do đó: - $\cos^2 40^0 + \cos^2 50^0 = \sin^2 50^0 + \cos^2 50^0 = 1$ Vậy biểu thức cuối cùng là: - $1 + 1 = 2$ Đáp số: 2