Khẳng định nào sau đây đúng

Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần phân tích dấu của đạo hàm \( f'(x) \) để xác định các khoảng tăng và giảm của hàm số \( y = f(x) \). Đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = (x + 1)(x - 4)^2(x - 8)^3 \] Ta xét dấu của \( f'(x) \): 1. \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) 2. \( (x - 4)^2 = 0 \Rightarrow x = 4 \) 3. \( (x - 8)^3 = 0 \Rightarrow x = 8 \) Bây giờ, ta vẽ bảng xét dấu của \( f'(x) \): | \( x \) | \( (-\infty, -1) \) | \( -1 \) | \( (-1, 4) \) | \( 4 \) | \( (4, 8) \) | \( 8 \) | \( (8, \infty) \) | |---------|---------------------|----------|----------------|--------|--------------|--------|-------------------| | \( x + 1 \) | - | 0 | + | + | + | + | + | | \( (x - 4)^2 \) | + | + | + | 0 | + | 0 | + | | \( (x - 8)^3 \) | - | - | - | - | - | 0 | + | | \( f'(x) \) | + | 0 | - | 0 | - | 0 | + | Từ bảng xét dấu, ta thấy: - \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (8, \infty) \), do đó hàm số \( f(x) \) tăng trên các khoảng này. - \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-1, 4) \) và \( (4, 8) \), do đó hàm số \( f(x) \) giảm trên các khoảng này. Bây giờ, ta kiểm tra từng khẳng định: A. \( f(6) < f(8) \): - \( f(x) \) giảm trên khoảng \( (4, 8) \), do đó \( f(6) > f(8) \). Khẳng định này sai. B. \( f(8) > f(12) \): - \( f(x) \) tăng trên khoảng \( (8, \infty) \), do đó \( f(8) < f(12) \). Khẳng định này sai. C. \( f(-1) < f(4) \): - \( f(x) \) giảm trên khoảng \( (-1, 4) \), do đó \( f(-1) > f(4) \). Khẳng định này sai. D. \( f(-1) > f(8) \): - \( f(x) \) giảm trên khoảng \( (-1, 4) \) và \( (4, 8) \), do đó \( f(-1) > f(8) \). Khẳng định này đúng. Vậy khẳng định đúng là: \[ \boxed{D} \]