Câu 8. Cho hình chóp O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. là trung điểm cạnh BC. a) BC.OM = 0. b) OM = √2. c) (OM, AB)=30°. d) AB.OM 1

Câu 8. Trước tiên, ta xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp O.ABC trong hệ tọa độ Oxyz như sau: - O(0, 0, 0) - A(1, 0, 0) - B(0, 1, 0) - C(0, 0, 1) M là trung điểm của cạnh BC, do đó tọa độ của M là: \[ M\left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = M\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \] Bây giờ, ta kiểm tra từng phát biểu: a) BC.OM = 0. Tọa độ của vectơ BC: \[ \overrightarrow{BC} = (0 - 0, 0 - 1, 1 - 0) = (0, -1, 1) \] Tọa độ của vectơ OM: \[ \overrightarrow{OM} = \left(0 - 0, \frac{1}{2} - 0, \frac{1}{2} - 0\right) = \left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \] Tích vô hướng của hai vectơ BC và OM: \[ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{OM} = (0) \cdot (0) + (-1) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) + (1) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 0 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \] Vậy phát biểu a) đúng. b) OM = √2. Chiều dài của vectơ OM: \[ |\overrightarrow{OM}| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Vậy phát biểu b) sai. c) (OM, AB)=30°. Tọa độ của vectơ AB: \[ \overrightarrow{AB} = (0 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-1, 1, 0) \] Tích vô hướng của hai vectơ OM và AB: \[ \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB} = \left(0\right) \cdot \left(-1\right) + \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(1\right) + \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(0\right) = 0 + \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2} \] Chiều dài của vectơ AB: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \] Góc giữa hai vectơ OM và AB: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{OM}| \cdot |\overrightarrow{AB}|} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} \] \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ \] Vậy phát biểu c) sai. d) AB.OM 1. Tích vô hướng của hai vectơ AB và OM đã tính ở trên là: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} \] Vậy phát biểu d) sai. Kết luận: Chỉ có phát biểu a) đúng.