tất cả công thức về vecto

Dưới đây là tổng hợp các công thức về vectơ trong không gian, bao gồm các phép toán cơ bản và tính chất của vectơ: 1. Các phép toán với vectơ: - Phép cộng vectơ: \[ \vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3) \] - Phép trừ vectơ: \[ \vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2, u_3 - v_3) \] - Phép nhân vectơ với một số thực: \[ k\vec{u} = (ku_1, ku_2, ku_3) \] 2. Tích vô hướng (tích скалярного): - Công thức tính tích vô hướng: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \] - Tính chất: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta) \] Trong đó, $\theta$ là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$. 3. Tích có hướng (tích векторного): - Công thức tính tích có hướng: \[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = (u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1) \] - Tính chất: \[ |\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin(\theta) \] Trong đó, $\theta$ là góc giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$. 4. Độ dài vectơ: - Công thức tính độ dài vectơ: \[ |\vec{u}| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2} \] 5. Vectơ đơn vị: - Vectơ đơn vị: \[ \hat{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} \] 6. Phương trình đường thẳng và mặt phẳng: - Phương trình đường thẳng: \[ \vec{r} = \vec{a} + t\vec{d} \] Trong đó, $\vec{a}$ là vectơ chỉ điểm trên đường thẳng, $\vec{d}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và $t$ là tham số thực. - Phương trình mặt phẳng: \[ \vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{a}) = 0 \] Trong đó, $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, $\vec{a}$ là vectơ chỉ điểm trên mặt phẳng, và $\vec{r}$ là vectơ chỉ tọa độ của điểm bất kỳ trên mặt phẳng. 7. Góc giữa hai vectơ: - Công thức tính góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] 8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng hoặc mặt phẳng: - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: \[ d = \frac{|\vec{AB} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|} \] Trong đó, $\vec{AB}$ là vectơ chỉ từ điểm $A$ trên đường thẳng đến điểm $B$, và $\vec{d}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng. - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: \[ d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{AP}|}{|\vec{n}|} \] Trong đó, $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, $\vec{AP}$ là vectơ chỉ từ điểm $A$ trên mặt phẳng đến điểm $P$. 9. Điều kiện vuông góc và song song: - Hai vectơ vuông góc: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \] - Hai vectơ song song: \[ \vec{u} = k\vec{v} \quad \text{(k là hằng số)} \] 10. Mặt cầu: - Phương trình mặt cầu: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Trong đó, $(a, b, c)$ là tâm của mặt cầu và $R$ là bán kính. Những công thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ trong không gian một cách hiệu quả và chính xác.