giúp toiiii

Câu 1. Để tìm giá trị của biểu thức \( A = a + b \), chúng ta cần xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số \( f(x) = \frac{x^2 \cdot 4x + 1}{x - 4} \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f(x) = \frac{4x^3 + 1}{x - 4} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \frac{(4x^3 + 1)'(x - 4) - (4x^3 + 1)(x - 4)'}{(x - 4)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (4x^3 + 1)' = 12x^2 \] \[ (x - 4)' = 1 \] Thay vào công thức đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{12x^2(x - 4) - (4x^3 + 1)}{(x - 4)^2} \] Rút gọn biểu thức: \[ f'(x) = \frac{12x^3 - 48x^2 - 4x^3 - 1}{(x - 4)^2} \] \[ f'(x) = \frac{8x^3 - 48x^2 - 1}{(x - 4)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực đại và cực tiểu bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{8x^3 - 48x^2 - 1}{(x - 4)^2} = 0 \] Phương trình này đúng khi: \[ 8x^3 - 48x^2 - 1 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình \( 8x^3 - 48x^2 - 1 = 0 \). Đây là một phương trình bậc ba, và việc giải nó thường phức tạp. Tuy nhiên, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp số hoặc đồ thị để tìm các nghiệm gần đúng. Giả sử chúng ta đã tìm được các nghiệm \( x = a \) và \( x = b \). Bước 4: Xác định các điểm cực đại và cực tiểu bằng cách kiểm tra dấu của đạo hàm \( f'(x) \) ở các khoảng giữa các nghiệm. Bước 5: Tính giá trị của biểu thức \( A = a + b \). Giả sử chúng ta đã tìm được các nghiệm \( x = a \) và \( x = b \) từ phương trình \( 8x^3 - 48x^2 - 1 = 0 \). Thì giá trị của biểu thức \( A = a + b \) sẽ là tổng của các nghiệm này. Vậy, giá trị của biểu thức \( A = a + b \) là: \[ A = a + b \] Đáp số: \( A = a + b \) Lưu ý: Để có kết quả chính xác, cần giải phương trình \( 8x^3 - 48x^2 - 1 = 0 \) để tìm các nghiệm \( a \) và \( b \). Câu 2. Để tìm giá trị của \( x \) sao cho thể tích \( V \) của khối hộp chữ nhật không có nắp là lớn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định chiều dài, chiều rộng và chiều cao của khối hộp chữ nhật: - Chiều dài ban đầu của tấm nhôm là 6 dm. - Sau khi cắt bốn góc mỗi cạnh là \( x \) dm, chiều dài còn lại là \( 6 - 2x \) dm. - Chiều rộng cũng còn lại \( 6 - 2x \) dm. - Chiều cao của khối hộp là \( x \) dm. 2. Lập biểu thức thể tích \( V \) của khối hộp chữ nhật: \[ V = (6 - 2x)(6 - 2x)x = (6 - 2x)^2 x \] 3. Tìm đạo hàm của \( V \) theo \( x \) để tìm giá trị cực đại: \[ V = (6 - 2x)^2 x \] Đặt \( u = (6 - 2x)^2 \) và \( v = x \), ta có: \[ V' = u'v + uv' \] Trong đó: \[ u' = 2(6 - 2x)(-2) = -4(6 - 2x) \] \[ v' = 1 \] Vậy: \[ V' = -4(6 - 2x)x + (6 - 2x)^2 \] \[ V' = (6 - 2x)(-4x + 6 - 2x) \] \[ V' = (6 - 2x)(6 - 6x) \] \[ V' = 6(6 - 2x)(1 - x) \] 4. Tìm điểm cực đại của \( V \): Đặt \( V' = 0 \): \[ 6(6 - 2x)(1 - x) = 0 \] Ta có hai nghiệm: \[ 6 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] \[ 1 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \] 5. Kiểm tra điều kiện xác định: Vì \( x \) là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt đi, nên \( 0 < x < 3 \). 6. Xét dấu của đạo hàm \( V' \) trong khoảng \( 0 < x < 3 \): - Khi \( 0 < x < 1 \), \( V' > 0 \) (tăng). - Khi \( 1 < x < 3 \), \( V' < 0 \) (giảm). Do đó, \( V \) đạt giá trị lớn nhất khi \( x = 1 \). Kết luận: Giá trị của \( x \) để thể tích lớn nhất của khối hộp chữ nhật không có nắp là \( x = 1 \) dm. Câu 3. Để tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{2x + 1}{x + 5} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đường tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số của hàm phân thức bằng 0. \[ x + 5 = 0 \implies x = -5 \] Vậy đường tiệm cận đứng là \( x = -5 \). Do đó, \( a = -5 \). 2. Tìm đường tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang xảy ra khi \( x \to \pm \infty \). Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x + 1}{x + 5} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{5}{x}} \] Khi \( x \to \pm \infty \), các phân số \( \frac{1}{x} \) và \( \frac{5}{x} \) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2 \] Vậy đường tiệm cận ngang là \( y = 2 \). Do đó, \( b = 2 \). 3. Tính giá trị của \( a + 2b \): \[ a + 2b = -5 + 2 \times 2 = -5 + 4 = -1 \] Vậy giá trị của \( a + 2b \) là \(-1\). Câu 4. Để tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t = 2 \) giây, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( h(t) \) để tìm vận tốc tức thời \( v(t) \). Bước 1: Xác định hàm số độ cao \( h(t) \): \[ h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2 \] Bước 2: Tính đạo hàm của \( h(t) \) để tìm vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ v(t) = h'(t) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ h'(t) = \frac{d}{dt}(2 + 24,5t - 4,9t^2) \] \[ h'(t) = 0 + 24,5 - 2 \cdot 4,9t \] \[ h'(t) = 24,5 - 9,8t \] Bước 3: Thay \( t = 2 \) vào biểu thức \( v(t) \): \[ v(2) = 24,5 - 9,8 \cdot 2 \] \[ v(2) = 24,5 - 19,6 \] \[ v(2) = 4,9 \] Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t = 2 \) giây là 4,9 m/s. Câu 5. Trước tiên, ta nhận thấy rằng đáy ABCD là hình bình hành, do đó $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$. Mặt khác, ta cần tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{BS}$. Ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và tam giác đều để tìm góc giữa hai vectơ này. 1. Xác định vị trí các điểm và vectơ: - Vì ABCD là hình bình hành, ta có $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$. - Mặt bên SAB là tam giác đều, do đó SA = SB = AB. 2. Tìm góc giữa hai vectơ: - Ta cần tìm góc giữa $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{BS}$. Vì $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$, ta sẽ tìm góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BS}$. - Trong tam giác đều SAB, góc $\angle ASB = 60^\circ$. 3. Xác định góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BS}$: - Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BS}$ chính là góc $\angle ABS$. - Vì SAB là tam giác đều, góc $\angle BAS = 60^\circ$ và góc $\angle ABS = 60^\circ$. Do đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{BS}$ là $60^\circ$. Đáp số: $60^\circ$. Câu 6. Trước tiên, ta xác định tọa độ của điểm treo đèn \( I(a; b; c) \). - Chiều dài phòng học là 8 m, do đó tọa độ \( a \) của điểm treo đèn sẽ là: \[ a = \frac{8}{2} = 4 \text{ m} \] - Chiều rộng phòng học là 6 m, do đó tọa độ \( b \) của điểm treo đèn sẽ là: \[ b = \frac{6}{2} = 3 \text{ m} \] - Chiều cao phòng học là 3 m, do đó tọa độ \( c \) của điểm treo đèn sẽ là: \[ c = 3 \text{ m} \] Vậy tọa độ của điểm treo đèn là \( I(4; 3; 3) \). Bây giờ, ta tính tổng \( a + b + c \): \[ a + b + c = 4 + 3 + 3 = 10 \] Đáp số: \( a + b + c = 10 \).