Giúp mình với ạ

Câu 1. Để tìm khoảng nghịch biến của hàm số $y = x^3 - 7x^2 + 11x - 2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 7x^2 + 11x - 2) = 3x^2 - 14x + 11 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0. \[ y' = 0 \] \[ 3x^2 - 14x + 11 = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bậc hai. \[ 3x^2 - 14x + 11 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 132}}{6} \] \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{64}}{6} \] \[ x = \frac{14 \pm 8}{6} \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{14 + 8}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \] \[ x_2 = \frac{14 - 8}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] Bước 4: Xác định dấu của đạo hàm $y'$ trên các khoảng $( -\infty, 1 )$, $( 1, \frac{11}{3} )$, và $( \frac{11}{3}, +\infty )$. - Trên khoảng $( -\infty, 1 )$: Chọn $x = 0$ \[ y'(0) = 3(0)^2 - 14(0) + 11 = 11 > 0 \] Do đó, $y'$ dương trên khoảng này. - Trên khoảng $( 1, \frac{11}{3} )$: Chọn $x = 2$ \[ y'(2) = 3(2)^2 - 14(2) + 11 = 12 - 28 + 11 = -5 < 0 \] Do đó, $y'$ âm trên khoảng này. - Trên khoảng $( \frac{11}{3}, +\infty )$: Chọn $x = 4$ \[ y'(4) = 3(4)^2 - 14(4) + 11 = 48 - 56 + 11 = 3 > 0 \] Do đó, $y'$ dương trên khoảng này. Bước 5: Kết luận khoảng nghịch biến của hàm số. Hàm số nghịch biến trên khoảng $( 1, \frac{11}{3} )$. Đáp số: Hàm số nghịch biến trên khoảng $( 1, \frac{11}{3} )$. Câu 2. Để tìm các đường tiệm cận của hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 + 4x - 1}{x^2 - 6x + 5} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm các đường tiệm cận đứng Đường tiệm cận đứng xuất hiện khi mẫu số của hàm phân thức bằng 0 (tức là \( x^2 - 6x + 5 = 0 \)). Giải phương trình: \[ x^2 - 6x + 5 = 0 \] Phương trình này có thể được phân tích thành: \[ (x - 1)(x - 5) = 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 1 \quad \text{và} \quad x = 5 \] Do đó, đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là \( x = 1 \) và \( x = 5 \). Bước 2: Tìm đường tiệm cận ngang Đường tiệm cận ngang xuất hiện khi \( x \to \pm \infty \). Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + 4x - 1}{x^2 - 6x + 5} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x^2 \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{4}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{6}{x} + \frac{5}{x^2}} \] Khi \( x \to \pm \infty \), các phân số \( \frac{4}{x}, \frac{1}{x^2}, \frac{6}{x}, \frac{5}{x^2} \) đều tiến đến 0. Vậy: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + 0 - 0}{1 - 0 + 0} = 1 \] Do đó, đường tiệm cận ngang là \( y = 1 \). Kết luận Đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 + 4x - 1}{x^2 - 6x + 5} \) có ba đường tiệm cận: - Hai đường tiệm cận đứng: \( x = 1 \) và \( x = 5 \) - Một đường tiệm cận ngang: \( y = 1 \) Vậy tổng cộng, đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận. Câu 3. Để tính \(a + b + c\), ta cần xác định tọa độ của điểm \(D'\) sao cho \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp. Điều này có nghĩa là các vectơ \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{AC} \), và \( \overrightarrow{AD'} \) phải tạo thành một hệ tọa độ song song với các cạnh của hình hộp. Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm \(A\), \(B\), và \(C'\): - \(A(1;0;2)\) - \(B(3;2;5)\) - \(C'(11;-3;8)\) Bước 2: Tìm vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AC'} \): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 1, 2 - 0, 5 - 2) = (2, 2, 3) \] \[ \overrightarrow{AC'} = C' - A = (11 - 1, -3 - 0, 8 - 2) = (10, -3, 6) \] Bước 3: Xác định tọa độ của điểm \(D'\) sao cho \( \overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC'} \): \[ \overrightarrow{AD'} = (2, 2, 3) + (10, -3, 6) = (12, -1, 9) \] Bước 4: Tìm tọa độ của điểm \(D'\): \[ D' = A + \overrightarrow{AD'} = (1, 0, 2) + (12, -1, 9) = (13, -1, 11) \] Bước 5: Tính \(a + b + c\): \[ a + b + c = 13 + (-1) + 11 = 23 \] Vậy, \(a + b + c = 23\). Đáp số: \(23\) Câu 4. Để tính chu vi của tam giác ABC, ta cần tính độ dài các cạnh AB, BC và CA. 1. Tính độ dài cạnh AB: \[ AB = \sqrt{(0 - 2)^2 + (0 - 2)^2 + (6 - (-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 4 + 49} = \sqrt{57} \] 2. Tính độ dài cạnh BC: \[ BC = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-2 - 0)^2 + (4 - 6)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17} \] 3. Tính độ dài cạnh CA: \[ CA = \sqrt{(3 - 2)^2 + (-2 - 2)^2 + (4 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42} \] Chu vi của tam giác ABC là tổng các độ dài các cạnh: \[ P_{ABC} = AB + BC + CA = \sqrt{57} + \sqrt{17} + \sqrt{42} \] Vậy chu vi của tam giác ABC là $\sqrt{57} + \sqrt{17} + \sqrt{42}$. Câu 5. Để tính hiệu độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về tuổi thọ ruồi lính đen Brasil và Malaysia, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính trung bình cộng của mỗi mẫu số liệu Mẫu số liệu về tuổi thọ ruồi lính đen Malaysia: - Số lượng ruồi: \(1 + 8 + 60 + 28 + 3 = 100\) - Trung bình cộng: \[ \bar{x}_M = \frac{(1 \times 1.5) + (8 \times 2.5) + (60 \times 3.5) + (28 \times 4.5) + (3 \times 5.5)}{100} = \frac{1.5 + 20 + 210 + 126 + 16.5}{100} = \frac{374}{100} = 3.74 \] Mẫu số liệu về tuổi thọ ruồi lính đen Brasil: - Số lượng ruồi: \(2 + 20 + 46 + 28 + 4 = 100\) - Trung bình cộng: \[ \bar{x}_B = \frac{(2 \times 1.5) + (20 \times 2.5) + (46 \times 3.5) + (28 \times 4.5) + (4 \times 5.5)}{100} = \frac{3 + 50 + 161 + 126 + 22}{100} = \frac{362}{100} = 3.62 \] Bước 2: Tính phương sai của mỗi mẫu số liệu Phương sai của mẫu số liệu về tuổi thọ ruồi lính đen Malaysia: \[ s^2_M = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}_M)^2 f_i}{n} = \frac{(1.5 - 3.74)^2 \times 1 + (2.5 - 3.74)^2 \times 8 + (3.5 - 3.74)^2 \times 60 + (4.5 - 3.74)^2 \times 28 + (5.5 - 3.74)^2 \times 3}{100} = \frac{(-2.24)^2 \times 1 + (-1.24)^2 \times 8 + (-0.24)^2 \times 60 + (0.76)^2 \times 28 + (1.76)^2 \times 3}{100} = \frac{5.0176 + 12.096 + 3.456 + 15.872 + 9.2496}{100} = \frac{45.6912}{100} = 0.456912 \] Phương sai của mẫu số liệu về tuổi thọ ruồi lính đen Brasil: \[ s^2_B = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}_B)^2 f_i}{n} = \frac{(1.5 - 3.62)^2 \times 2 + (2.5 - 3.62)^2 \times 20 + (3.5 - 3.62)^2 \times 46 + (4.5 - 3.62)^2 \times 28 + (5.5 - 3.62)^2 \times 4}{100} = \frac{(-2.12)^2 \times 2 + (-1.12)^2 \times 20 + (-0.12)^2 \times 46 + (0.88)^2 \times 28 + (1.88)^2 \times 4}{100} = \frac{9.0304 + 24.64 + 0.6744 + 21.952 + 14.1184}{100} = \frac{70.4152}{100} = 0.704152 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về tuổi thọ ruồi lính đen Malaysia: \[ s_M = \sqrt{s^2_M} = \sqrt{0.456912} \approx 0.676 \] Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về tuổi thọ ruồi lính đen Brasil: \[ s_B = \sqrt{s^2_B} = \sqrt{0.704152} \approx 0.839 \] Bước 4: Tính hiệu độ lệch chuẩn \[ |s_B - s_M| = |0.839 - 0.676| = 0.163 \] Vậy hiệu độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về tuổi thọ ruồi lính đen Brasil và Malaysia là \(0.163\). Câu 6. Để tính tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị \( y = \frac{(x+1)(x^2-1)}{f(x)} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm đặc biệt của hàm số \( f(x) \): - Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số \( f(x) \) có ba nghiệm là \( x = -2 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \). Do đó, ta có thể viết lại \( f(x) \) dưới dạng: \[ f(x) = k(x + 2)x(x - 2) \] trong đó \( k \) là hằng số. 2. Xét biểu thức \( y = \frac{(x+1)(x^2-1)}{f(x)} \): - Biểu thức này có dạng phân thức đại số, do đó ta cần tìm các điểm làm mẫu số bằng 0 để xác định các đường tiệm cận đứng. - Ta có: \[ f(x) = k(x + 2)x(x - 2) \] Các điểm làm mẫu số bằng 0 là \( x = -2 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \). 3. Xác định các đường tiệm cận đứng: - Các đường tiệm cận đứng của đồ thị \( y = \frac{(x+1)(x^2-1)}{f(x)} \) là các đường thẳng \( x = -2 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \). 4. Xét giới hạn khi \( x \to \pm \infty \): - Để xác định đường tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của \( y \) khi \( x \to \pm \infty \): \[ y = \frac{(x+1)(x^2-1)}{k(x + 2)x(x - 2)} \] Khi \( x \to \pm \infty \), ta có: \[ y \approx \frac{x^3}{kx^3} = \frac{1}{k} \] Do đó, đường tiệm cận ngang là \( y = \frac{1}{k} \). 5. Tổng kết: - Số đường tiệm cận đứng là 3 (tại \( x = -2 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \)). - Số đường tiệm cận ngang là 1 (tại \( y = \frac{1}{k} \)). Vậy tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị \( y = \frac{(x+1)(x^2-1)}{f(x)} \) là: \[ 3 + 1 = 4 \] Đáp số: 4