Cô Hà thống kê lại đường kính thân gỗ của một số cây xoan đào 6 năm tuổi được trồng ở một lâm trường ở bảng sau

Câu 1. Để tính trung vị của dãy số liệu về đường kính thân gỗ của các cây xoan đào, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số lượng cây: Tổng số lượng cây là: \[ 5 + 20 + 18 + 7 + 3 = 53 \] 2. Xác định vị trí của trung vị: Vì số lượng cây là 53 (số lẻ), trung vị sẽ nằm ở vị trí thứ: \[ \frac{53 + 1}{2} = 27 \] Vậy trung vị nằm ở vị trí thứ 27 trong dãy số liệu đã sắp xếp. 3. Xác định khoảng chứa trung vị: - Tần số của nhóm [40;45) là 5, không đủ để chứa trung vị. - Tần số của nhóm [45;50) là 20, cộng với nhóm trước là 5 + 20 = 25, vẫn chưa đủ để chứa trung vị. - Tần số của nhóm [50;55) là 18, cộng với nhóm trước là 5 + 20 + 18 = 43, đủ để chứa trung vị. Do đó, trung vị nằm trong khoảng [50;55). 4. Áp dụng công thức tính trung vị: Công thức tính trung vị trong khoảng là: \[ M = x_l + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{l-1}}{f_i} \right) \times c \] Trong đó: - \(x_l\) là giới hạn dưới của khoảng chứa trung vị (50). - \(F_{l-1}\) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa trung vị (5 + 20 = 25). - \(f_i\) là tần số của nhóm chứa trung vị (18). - \(c\) là khoảng cách giữa hai giới hạn của nhóm (55 - 50 = 5). Thay các giá trị vào công thức: \[ M = 50 + \left( \frac{27 - 25}{18} \right) \times 5 \] \[ M = 50 + \left( \frac{2}{18} \right) \times 5 \] \[ M = 50 + \frac{10}{18} \] \[ M = 50 + \frac{5}{9} \] \[ M \approx 50 + 0,5556 \approx 50,5556 \] Do đó, trung vị của dãy số liệu về đường kính thân gỗ của các cây xoan đào là khoảng 50,56 cm. Tuy nhiên, theo các đáp án đã cho, gần đúng nhất là: Đáp án: C. 50,56 Câu 2. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu. Trong bảng đã cho, nhóm có giá trị nhỏ nhất là [40; 50) và nhóm có giá trị lớn nhất là [80; 90). Do đó, giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu này là 40 (khoảng dưới của nhóm đầu tiên) và giá trị lớn nhất là 90 (khoảng trên của nhóm cuối cùng). Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất Khoảng biến thiên = 90 - 40 = 50 Vậy, khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 50. Đáp án đúng là: A. 50. Câu 3. Khoảng tứ phân vị của một mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách lấy tứ phân vị thứ ba trừ đi tứ phân vị thứ nhất. Do đó, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \[ Q_3 - Q_1 \] Vậy đáp án đúng là: C. \( Q_3 - Q_1 \) Đáp số: C. \( Q_3 - Q_1 \) Câu 4. Để tính phương sai của dãy số liệu đã cho, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính trung bình cộng của dãy số liệu. Trung bình cộng \( \bar{x} \) được tính bằng công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ i. - \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ i. Ta tính trung bình cộng \( \bar{x} \): \[ \begin{array}{c|c|c} \text{Quãng đường (km)} & \text{Số ngày} & \text{Giá trị trung tâm} \\ \hline [2,7;3,0) & 3 & 2,85 \\ [3,0;3,3) & 6 & 3,15 \\ [3,3;3,6) & 5 & 3,45 \\ [3,6;3,9) & 4 & 3,75 \\ [3,9;4,2) & 2 & 4,05 \\ \end{array} \] Tính tổng số ngày: \[ \sum_{i=1}^{n} f_i = 3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20 \] Tính tổng \( f_i x_i \): \[ \sum_{i=1}^{n} f_i x_i = 3 \times 2,85 + 6 \times 3,15 + 5 \times 3,45 + 4 \times 3,75 + 2 \times 4,05 \] \[ = 8,55 + 18,9 + 17,25 + 15 + 8,1 \] \[ = 77,8 \] Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{77,8}{20} = 3,89 \] Bước 2: Tính phương sai. Phương sai \( S^2 \) được tính bằng công thức: \[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Ta tính \( (x_i - \bar{x})^2 \) và \( f_i (x_i - \bar{x})^2 \): \[ \begin{array}{c|c|c|c} \text{Quãng đường (km)} & \text{Số ngày} & \text{Giá trị trung tâm} & (x_i - \bar{x})^2 & f_i (x_i - \bar{x})^2 \\ \hline [2,7;3,0) & 3 & 2,85 & (2,85 - 3,89)^2 = 1,04^2 = 1,0816 & 3 \times 1,0816 = 3,2448 \\ [3,0;3,3) & 6 & 3,15 & (3,15 - 3,89)^2 = 0,74^2 = 0,5476 & 6 \times 0,5476 = 3,2856 \\ [3,3;3,6) & 5 & 3,45 & (3,45 - 3,89)^2 = 0,44^2 = 0,1936 & 5 \times 0,1936 = 0,968 \\ [3,6;3,9) & 4 & 3,75 & (3,75 - 3,89)^2 = 0,14^2 = 0,0196 & 4 \times 0,0196 = 0,0784 \\ [3,9;4,2) & 2 & 4,05 & (4,05 - 3,89)^2 = 0,16^2 = 0,0256 & 2 \times 0,0256 = 0,0512 \\ \end{array} \] Tính tổng \( f_i (x_i - \bar{x})^2 \): \[ \sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 3,2448 + 3,2856 + 0,968 + 0,0784 + 0,0512 = 7,628 \] Phương sai: \[ S^2 = \frac{7,628}{20} = 0,3814 \] Vậy phương sai của dãy số liệu đã cho là \( 0,3814 \). Đáp án đúng là: D. 0,3. Câu 5. Để tìm thời gian trung vị của dữ liệu đã cho, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số lượng dữ liệu: Số ngày tổng cộng là: \[ 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18 \text{ ngày} \] 2. Xác định vị trí của giá trị trung vị: Vì số lượng dữ liệu là 18 (số chẵn), nên giá trị trung vị sẽ nằm giữa hai giá trị ở vị trí thứ 9 và thứ 10. 3. Xác định khoảng thời gian chứa giá trị trung vị: - Khoảng [20; 25) có 6 ngày. - Khoảng [25; 30) có 6 ngày nữa, tổng cộng là 12 ngày. - Khoảng [30; 35) có 4 ngày, tổng cộng là 16 ngày. - Khoảng [35; 40) có 1 ngày, tổng cộng là 17 ngày. - Khoảng [40; 45) có 1 ngày, tổng cộng là 18 ngày. Do đó, giá trị trung vị nằm trong khoảng [25; 30). 4. Tính giá trị trung vị: Ta lấy trung bình của hai giá trị ở vị trí thứ 9 và thứ 10 trong khoảng [25; 30): \[ \text{Giá trị trung vị} = \frac{25 + 30}{2} = 27.5 \] Nhưng vì các đáp án đều là số nguyên, ta chọn giá trị gần nhất trong các đáp án đã cho. Trong các đáp án A. 25, B. 20, C. 15, D. 30, giá trị gần nhất với 27.5 là 25. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{25} \] Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của thời gian giải rubik: - Tổng thời gian giải rubik của 25 lần là: \[ 10 + 12 + 15 + 18 + 20 + 22 + 25 + 28 + 30 + 32 + 35 + 38 + 40 + 42 + 45 + 48 + 50 + 52 + 55 + 58 + 60 + 62 + 65 + 68 + 70 = 1075 \text{ giây} \] - Trung bình cộng của thời gian giải rubik là: \[ \frac{1075}{25} = 43 \text{ giây} \] 2. Tìm trung vị của thời gian giải rubik: - Vì có 25 lần giải, số lượng lẻ nên trung vị là giá trị ở vị trí thứ 13 (khi sắp xếp theo thứ tự tăng dần): \[ 10, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35, 38, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 55, 58, 60, 62, 65, 68, 70 \] - Giá trị ở vị trí thứ 13 là 40 giây. 3. Tìm số liệu xuất hiện nhiều nhất (mode): - Ta thấy rằng mỗi giá trị chỉ xuất hiện một lần, do đó không có mode. 4. Tính khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất là 70 giây. - Giá trị nhỏ nhất là 10 giây. - Khoảng cách là: \[ 70 - 10 = 60 \text{ giây} \] Kết luận: - Trung bình cộng của thời gian giải rubik là 43 giây. - Trung vị của thời gian giải rubik là 40 giây. - Không có mode vì mỗi giá trị chỉ xuất hiện một lần. - Khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là 60 giây.