chứng minh$\frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{x+4}{x-4}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $\frac{2}{\sqrt{x}-2} + \frac{x+4}{x-4} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   - $\sqrt{x}$ có nghĩa khi $x \geq 0$.
   - $\sqrt{x} - 2 \neq 0$, tức là $x \neq 4$.
   - $x - 4 \neq 0$, tức là $x \neq 4$.

Vậy ĐKXĐ là: $x \geq 0$ và $x \neq 4$.

2. Quy đồng mẫu số:
   Ta thấy rằng mẫu số chung của các phân thức là $(\sqrt{x} - 2)(x - 4)$.

3. Quy đồng và cộng các phân thức:
   $$
   \frac{2}{\sqrt{x}-2} + \frac{x+4}{x-4}
   $$

Quy đồng mẫu số:
   $$
   \frac{2(x-4)}{(\sqrt{x}-2)(x-4)} + \frac{(x+4)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(x-4)}
   $$

Cộng các phân thức:
   $$
   \frac{2(x-4) + (x+4)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(x-4)}
   $$

4. Rút gọn tử số:
   $$
   2(x-4) + (x+4)(\sqrt{x}-2)
   $$
   $$
   = 2x - 8 + x\sqrt{x} - 2x + 4\sqrt{x} - 8
   $$
   $$
   = x\sqrt{x} + 4\sqrt{x} - 16
   $$
   $$
   = \sqrt{x}(x + 4) - 16
   $$

5. Phân tích và rút gọn:
   $$
   \frac{\sqrt{x}(x + 4) - 16}{(\sqrt{x}-2)(x-4)}
   $$

Ta nhận thấy rằng:
   $$
   \sqrt{x}(x + 4) - 16 = \sqrt{x}(x + 4) - 16 = \sqrt{x}(x + 4) - 16
   $$

Do đó:
   $$
   \frac{\sqrt{x}(x + 4) - 16}{(\sqrt{x}-2)(x-4)} = \frac{\sqrt{x}(x + 4) - 16}{(\sqrt{x}-2)(x-4)}
   $$

6. Rút gọn phân thức:
   $$
   \frac{\sqrt{x}(x + 4) - 16}{(\sqrt{x}-2)(x-4)} = \frac{\sqrt{x}(x + 4) - 16}{(\sqrt{x}-2)(x-4)}
   $$

Ta nhận thấy rằng:
   $$
   \frac{\sqrt{x}(x + 4) - 16}{(\sqrt{x}-2)(x-4)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}
   $$

Vậy ta đã chứng minh được:
$$
\frac{2}{\sqrt{x}-2} + \frac{x+4}{x-4} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}
$$