ooooooooooooo

Câu 1. Để tìm giá trị của biểu thức \( A = a + b \), chúng ta cần xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số \( f(x) = \frac{x^2 - 4x + 1}{x - 4} \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f'(x) = \left( \frac{x^2 - 4x + 1}{x - 4} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \frac{(x^2 - 4x + 1)'(x - 4) - (x^2 - 4x + 1)(x - 4)'}{(x - 4)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (x^2 - 4x + 1)' = 2x - 4 \] \[ (x - 4)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ f'(x) = \frac{(2x - 4)(x - 4) - (x^2 - 4x + 1)}{(x - 4)^2} \] Rút gọn biểu thức: \[ f'(x) = \frac{2x^2 - 8x - 4x + 16 - x^2 + 4x - 1}{(x - 4)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 - 8x + 15}{(x - 4)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực đại và cực tiểu bằng cách giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{x^2 - 8x + 15}{(x - 4)^2} = 0 \] Phương trình này đúng khi: \[ x^2 - 8x + 15 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 8x + 15 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \] Có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{8 + 2}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{8 - 2}{2} = 3 \] Bước 3: Xác định các điểm cực đại và cực tiểu: - \( x = 5 \) là điểm cực tiểu vì đạo hàm thay đổi từ âm sang dương. - \( x = 3 \) là điểm cực đại vì đạo hàm thay đổi từ dương sang âm. Bước 4: Tính giá trị của biểu thức \( A = a + b \): \[ A = 3 + 5 = 8 \] Vậy giá trị của biểu thức \( A \) là: \[ \boxed{8} \] Câu 2. Để tìm giá trị của \( x \) sao cho thể tích \( V \) của hộp chữ nhật là lớn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hộp chữ nhật: - Chiều dài ban đầu của tấm nhôm là 6 dm. - Sau khi cắt bốn góc mỗi cạnh là \( x \) dm, chiều dài còn lại là \( 6 - 2x \) dm. - Chiều rộng cũng còn lại \( 6 - 2x \) dm. - Chiều cao của hộp chữ nhật là \( x \) dm. 2. Tính thể tích \( V \) của hộp chữ nhật: \[ V = (6 - 2x)(6 - 2x)x = (6 - 2x)^2 x \] 3. Xác định điều kiện của \( x \): - Để có thể tạo thành hộp chữ nhật, \( x \) phải lớn hơn 0 và nhỏ hơn 3 (vì nếu \( x \geq 3 \), chiều dài và chiều rộng sẽ không còn dương). \[ 0 < x < 3 \] 4. Tìm giá trị \( x \) để thể tích \( V \) lớn nhất: - Ta sẽ tìm đạo hàm của \( V \) theo \( x \) và đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực đại. \[ V = (6 - 2x)^2 x \] - Đạo hàm \( V \) theo \( x \): \[ V' = \frac{d}{dx}[(6 - 2x)^2 x] = (6 - 2x)^2 + x \cdot 2(6 - 2x)(-2) \] \[ V' = (6 - 2x)^2 - 4x(6 - 2x) \] \[ V' = (6 - 2x)(6 - 2x - 4x) \] \[ V' = (6 - 2x)(6 - 6x) \] - Đặt \( V' = 0 \): \[ (6 - 2x)(6 - 6x) = 0 \] - Giải phương trình: \[ 6 - 2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 6 - 6x = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] - Vì \( x = 3 \) không thỏa mãn điều kiện \( 0 < x < 3 \), nên ta chỉ xét \( x = 1 \). 5. Kiểm tra giá trị \( x = 1 \) để đảm bảo thể tích lớn nhất: - Thay \( x = 1 \) vào biểu thức thể tích: \[ V = (6 - 2 \cdot 1)^2 \cdot 1 = 4^2 \cdot 1 = 16 \text{ dm}^3 \] Vậy giá trị \( x \) để thể tích lớn nhất của hộp chữ nhật là 16 dm³ là \( x = 1 \) dm. Đáp số: \( x = 1 \) dm. Câu 3. Để tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( f(x) = \frac{2x + 1}{x + 5} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đường tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số của hàm phân thức bằng 0 (tức là \( x + 5 = 0 \)). \[ x + 5 = 0 \implies x = -5 \] Vậy đường tiệm cận đứng là \( x = -5 \). Do đó, \( a = -5 \). 2. Tìm đường tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang xảy ra khi \( x \to \pm \infty \). Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x + 1}{x + 5} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{5}{x}} \] Khi \( x \to \pm \infty \), các phân số \( \frac{1}{x} \) và \( \frac{5}{x} \) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2 \] Vậy đường tiệm cận ngang là \( y = 2 \). Do đó, \( b = 2 \). 3. Tính giá trị của \( a + 2b \): \[ a + 2b = -5 + 2 \times 2 = -5 + 4 = -1 \] Vậy giá trị của \( a + 2b \) là \(-1\). Câu 4. Để tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t = 2 \) giây, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( h(t) \) để tìm vận tốc tức thời \( v(t) \). Bước 1: Xác định hàm số độ cao \( h(t) \): \[ h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2 \] Bước 2: Tính đạo hàm của \( h(t) \) để tìm vận tốc tức thời \( v(t) \): \[ v(t) = h'(t) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ h'(t) = \frac{d}{dt}(2 + 24,5t - 4,9t^2) \] \[ h'(t) = 0 + 24,5 - 2 \cdot 4,9t \] \[ h'(t) = 24,5 - 9,8t \] Bước 3: Thay \( t = 2 \) vào biểu thức \( v(t) \): \[ v(2) = 24,5 - 9,8 \cdot 2 \] \[ v(2) = 24,5 - 19,6 \] \[ v(2) = 4,9 \] Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \( t = 2 \) giây là 4,9 m/s. Câu 5. Trước tiên, ta nhận thấy rằng đáy ABCD là hình bình hành, do đó ta có $\overline{DC} = \overline{AB}$. Mặt khác, ta cũng biết rằng mặt bên SAB là tam giác đều, tức là SA = SB = AB. Bây giờ, ta sẽ tính góc giữa hai vectơ $\overline{DC}$ và $\overline{BS}$. 1. Ta có $\overline{DC} = \overline{AB}$. 2. Ta cần tính góc giữa $\overline{AB}$ và $\overline{BS}$. Ta xét tam giác ABS: - Vì SAB là tam giác đều, nên góc ASB = 60°. - Ta cần tính góc giữa $\overline{AB}$ và $\overline{BS}$, tức là góc giữa $\overline{AB}$ và $\overline{BS}$ trong mặt phẳng SAB. Do đó, góc giữa $\overline{AB}$ và $\overline{BS}$ chính là góc ASB, tức là 60°. Vậy góc giữa hai vectơ $\overline{DC}$ và $\overline{BS}$ là 60°. Đáp số: 60°. Câu 6. Trước tiên, ta xác định tọa độ của điểm treo đèn I(a; b; c). - Chiều dài phòng học là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. - Đèn được treo ở chính giữa trần nhà, tức là ở tâm của hình chữ nhật trên trần nhà. Do đó: - Tọa độ x của điểm treo đèn sẽ là $\frac{8}{2} = 4$ m. - Tọa độ y của điểm treo đèn sẽ là $\frac{6}{2} = 3$ m. - Tọa độ z của điểm treo đèn sẽ là 3 m (chiều cao của phòng học). Vậy tọa độ của điểm treo đèn là I(4; 3; 3). Bây giờ, ta tính tổng $a + b + c$: \[ a + b + c = 4 + 3 + 3 = 10 \] Đáp số: $a + b + c = 10$.