Chỉ emmm đề toán 15ph ạ

Câu 1. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) = x^2 - 3x \) trên đoạn \([0;2]\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 2x - 3 \] 2. Xác định các điểm cực trị trong khoảng mở \((0, 2)\): Giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 2x - 3 = 0 \] \[ x = \frac{3}{2} \] 3. Kiểm tra các giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 = 0 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2 \] - Tại \( x = \frac{3}{2} \): \[ f\left(\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = -\frac{9}{4} \] 4. So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( f(0) = 0 \) - \( f(2) = -2 \) - \( f\left(\frac{3}{2}\right) = -\frac{9}{4} \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( -\frac{9}{4} \). Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = x^2 - 3x \) trên đoạn \([0;2]\) là \( -\frac{9}{4} \). Đáp án đúng là A. \( -\frac{9}{4} \). Câu 2. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{MN}$, ta thực hiện phép trừ tọa độ của điểm $M$ từ tọa độ của điểm $N$. Tọa độ của điểm $M$ là $(3, -2, 0)$. Tọa độ của điểm $N$ là $(2, 4, 1)$. Ta có: \[ \overrightarrow{MN} = (N_x - M_x, N_y - M_y, N_z - M_z) \] Thay tọa độ của các điểm vào công thức trên: \[ \overrightarrow{MN} = (2 - 3, 4 - (-2), 1 - 0) \] \[ \overrightarrow{MN} = (-1, 4 + 2, 1) \] \[ \overrightarrow{MN} = (-1, 6, 1) \] Vậy tọa độ của $\overrightarrow{MN}$ là $(-1, 6, 1)$. Đáp án đúng là: A. $(-1, 6, 1)$. Câu 3. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$, ta sử dụng công thức sau: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z \] Trong đó, $\overrightarrow u = (u_x; u_y; u_z)$ và $\overrightarrow v = (v_x; v_y; v_z)$. Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ \overrightarrow u = (1; 0; -1) \] \[ \overrightarrow v = (2; 1; -2) \] Tính từng thành phần: \[ u_x \cdot v_x = 1 \cdot 2 = 2 \] \[ u_y \cdot v_y = 0 \cdot 1 = 0 \] \[ u_z \cdot v_z = (-1) \cdot (-2) = 2 \] Cộng lại các thành phần: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 2 + 0 + 2 = 4 \] Vậy tích vô hướng của $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ là 4. Đáp án đúng là: A. 4. Câu 4. Để xác định tọa độ đỉnh M của hình chữ nhật OKMN trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh đã biết: - Đỉnh O có tọa độ (0, 0, 0). - Đỉnh K có tọa độ (1, 0, 0). - Đỉnh N có tọa độ (0, 2, 0). 2. Vì OKMN là hình chữ nhật, nên cạnh OK song song với trục Ox và cạnh ON song song với trục Oy. Do đó, đỉnh M sẽ có tọa độ là kết quả của việc dịch chuyển từ đỉnh O theo cả hai hướng Ox và Oy. 3. Tọa độ đỉnh M sẽ là: - Tọa độ x của M là 1 (tương tự như đỉnh K). - Tọa độ y của M là 2 (tương tự như đỉnh N). - Tọa độ z của M là 0 (vì tất cả các đỉnh đều nằm trên mặt phẳng xy). Vậy tọa độ đỉnh M của hình chữ nhật OKMN là \( M(1; 2; 0) \). Đáp án đúng là: C. \( M(1; 2; 0) \). Câu 5. Để xác định khoảng nào hàm số nghịch biến, ta cần dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Hàm số nghịch biến khi đạo hàn \( f'(x) < 0 \). Trong bảng biến thiên, ta thấy: - Từ \( -\infty \) đến \( -1 \), hàm số đồng biến. - Từ \( -1 \) đến \( 0 \), hàm số nghịch biến. - Từ \( 0 \) đến \( 1 \), hàm số đồng biến. - Từ \( 1 \) đến \( 4 \), hàm số nghịch biến. - Từ \( 4 \) đến \( +\infty \), hàm số đồng biến. Do đó, hàm số nghịch biến trong các khoảng: - \( (-1; 0) \) - \( (1; 4) \) Trong các đáp án đã cho, chỉ có khoảng \( (0; 1) \) nằm trong khoảng nghịch biến của hàm số. Vậy đáp án đúng là: D. \( (0; 1) \). Câu 6. Trong hình lăng trụ ABC.A'B'C', ta có các cạnh bên song song và bằng nhau. Do đó, vectơ $\overrightarrow{AA^\prime}$ sẽ bằng vectơ của các cạnh bên khác. Ta kiểm tra từng đáp án: - A. $\overrightarrow{C^\prime C}$: Đây là vectơ ngược chiều với $\overrightarrow{AA^\prime}$, nên không bằng. - B. $\overrightarrow{BC}$: Đây là vectơ nằm trong đáy của lăng trụ, không phải là vectơ của cạnh bên, nên không bằng. - C. $\overrightarrow{B^\prime B}$: Đây là vectơ ngược chiều với $\overrightarrow{AA^\prime}$, nên không bằng. - D. $\overrightarrow{CC^\prime}$: Đây là vectơ của cạnh bên và cùng chiều với $\overrightarrow{AA^\prime}$, nên bằng. Vậy đáp án đúng là D. $\overrightarrow{CC^\prime}$. Câu 7. Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu: - Giá trị lớn nhất nằm trong nhóm $[60;65)$, cụ thể là 65 cm. - Giá trị nhỏ nhất nằm trong nhóm $[40;45)$, cụ thể là 40 cm. 2. Tính khoảng biến thiên: \[ Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất \] \[ Khoảng biến thiên = 65 - 40 = 25 \] Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 25. Đáp án đúng là: C. 25. Câu 8. Để xác định khẳng định đúng về vectơ $\overrightarrow{OM}$, ta cần dựa vào tọa độ của điểm $M(1; -2; 3)$. - Vectơ $\overrightarrow{OM}$ có tọa độ là $(1, -2, 3)$. - Ta biết rằng $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị theo các trục Ox, Oy, Oz. Do đó: \[ \overrightarrow{OM} = 1\overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \] Như vậy, khẳng định đúng là: \[ A.\ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k} \] Đáp án: A. $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{i} - 2\overrightarrow{j} + 3\overrightarrow{k}$ Câu 9. Để tìm tọa độ điểm M sao cho $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$: - Tọa độ của điểm A là $(0, 1, -2)$. - Tọa độ của điểm B là $(3, -1, 1)$. - Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 0, -1 - 1, 1 - (-2)) = (3, -2, 3) \] 2. Tính vectơ $\overrightarrow{AM}$: - Ta biết rằng $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB}$. - Do đó: \[ \overrightarrow{AM} = 3 \cdot (3, -2, 3) = (9, -6, 9) \] 3. Tìm tọa độ của điểm M: - Gọi tọa độ của điểm M là $(x, y, z)$. - Ta có: \[ \overrightarrow{AM} = (x - 0, y - 1, z - (-2)) = (x, y - 1, z + 2) \] - Vì $\overrightarrow{AM} = (9, -6, 9)$, nên ta có: \[ x = 9, \quad y - 1 = -6, \quad z + 2 = 9 \] - Giải các phương trình này: \[ x = 9, \quad y = -6 + 1 = -5, \quad z = 9 - 2 = 7 \] Vậy tọa độ của điểm M là $(9, -5, 7)$. Đáp án đúng là: A. $M(9, -5, 7)$. Câu 10: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm \( C \) từ các điểm đã biết. 2. Xác định các vectơ \( \overrightarrow{CC'} \) và \( \overrightarrow{C'D'} \). 3. Tìm các điều kiện để vectơ \( \overrightarrow{n} = (a; b; 3) \) vuông góc với cả hai vectơ trên. 4. Giải hệ phương trình để tìm \( a \) và \( b \). 5. Tính \( a + b \). Bước 1: Tìm tọa độ của điểm \( C \). Trong hình hộp, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \] Tọa độ của \( B \) là \( (2; 1; 2) \) và tọa độ của \( A \) là \( (1; 0; 1) \): \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1; 1 - 0; 2 - 1) = (1; 1; 1) \] Tọa độ của \( D \) là \( (1; -1; 1) \): \[ \overrightarrow{DC} = (x_C - 1; y_C + 1; z_C - 1) \] Do đó: \[ (x_C - 1; y_C + 1; z_C - 1) = (1; 1; 1) \] \[ x_C = 2, \quad y_C = 0, \quad z_C = 2 \] Vậy tọa độ của \( C \) là \( (2; 0; 2) \). Bước 2: Xác định các vectơ \( \overrightarrow{CC'} \) và \( \overrightarrow{C'D'} \). Tọa độ của \( C' \) là \( (4; 5; -5) \): \[ \overrightarrow{CC'} = (4 - 2; 5 - 0; -5 - 2) = (2; 5; -7) \] Trong hình hộp, ta có: \[ \overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{CB} \] Tọa độ của \( B \) là \( (2; 1; 2) \) và tọa độ của \( C \) là \( (2; 0; 2) \): \[ \overrightarrow{CB} = (2 - 2; 1 - 0; 2 - 2) = (0; 1; 0) \] Bước 3: Tìm các điều kiện để vectơ \( \overrightarrow{n} = (a; b; 3) \) vuông góc với cả hai vectơ trên. Điều kiện để \( \overrightarrow{n} \) vuông góc với \( \overrightarrow{CC'} \): \[ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{CC'} = 0 \] \[ a \cdot 2 + b \cdot 5 + 3 \cdot (-7) = 0 \] \[ 2a + 5b - 21 = 0 \quad \text{(1)} \] Điều kiện để \( \overrightarrow{n} \) vuông góc với \( \overrightarrow{C'D'} \): \[ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{C'D'} = 0 \] \[ a \cdot 0 + b \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 0 \] \[ b = 0 \quad \text{(2)} \] Bước 4: Giải hệ phương trình để tìm \( a \) và \( b \). Từ (2), ta có: \[ b = 0 \] Thay vào (1): \[ 2a + 5 \cdot 0 - 21 = 0 \] \[ 2a - 21 = 0 \] \[ 2a = 21 \] \[ a = \frac{21}{2} \] Bước 5: Tính \( a + b \). \[ a + b = \frac{21}{2} + 0 = \frac{21}{2} \] Vậy \( a + b = \frac{21}{2} \). Đáp số: \( \frac{21}{2} \).