Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 1 Để tính thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', ta sử dụng công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật: \[ V = l \times w \times h \] Trong đó: - \( l \) là chiều dài (AB), - \( w \) là chiều rộng (AD), - \( h \) là chiều cao (AA'). Theo đề bài, ta có: - Chiều dài \( AB = 8 \, \text{cm} \), - Chiều rộng \( AD = 10 \, \text{cm} \), - Chiều cao \( AA' = 7 \, \text{cm} \). Bây giờ, ta thay các giá trị này vào công thức: \[ V = 8 \times 10 \times 7 \] Tính toán: \[ V = 80 \times 7 = 560 \, \text{cm}^3 \] Vậy thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là: \[ \boxed{560 \, \text{cm}^3} \] Câu 2 a) Ta có \(SO\) là đường cao hạ từ đỉnh \(S\) xuống đáy \(ABCD\). Vì đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\), nên \(O\) là trung điểm của cả hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Mặt khác, các cạnh bên của hình chóp đều bằng nhau, tức là \(SA = SB = SC = SD\). Do đó, \(SO\) là đường cao chung của các tam giác đều \(SAC\) và \(SBD\), suy ra \(SO \perp AC\) và \(SO \perp BD\). Vì \(AC\) và \(BD\) là hai đường chéo của hình chữ nhật \(ABCD\), chúng cắt nhau tại \(O\) và tạo thành hai đường thẳng vuông góc với nhau. Do đó, \(SO \perp (ABCD)\). b) Ta có \(M\) là trung điểm của \(AD\), do đó \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\), suy ra \(OM \parallel AB\). Vì \(AB \perp AD\) (do \(ABCD\) là hình chữ nhật), nên \(OM \perp AD\). Mặt khác, từ phần a) ta đã chứng minh \(SO \perp (ABCD)\), suy ra \(SO \perp AD\). Vậy \(AD\) vuông góc với cả hai đường thẳng \(OM\) và \(SO\) nằm trong mặt phẳng \((SOM)\), do đó \(AD \perp (SOM)\). Từ đó suy ra \((SAD) \perp (SOM)\). c) Ta cần tính góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\). Gọi \(H\) là chân đường cao hạ từ \(S\) xuống \(ABCD\), ta có \(SH \perp (ABCD)\). Ta sẽ tính \(SH\) để tìm góc giữa \(SA\) và \((ABCD)\). Trong tam giác \(SOA\), ta có: \[OA = \frac{1}{2}AD = 5 \text{ cm}\] Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác \(SOA\): \[SA^2 = SO^2 + OA^2\] \[7^2 = SO^2 + 5^2\] \[49 = SO^2 + 25\] \[SO^2 = 24\] \[SO = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \text{ cm}\] Góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là góc \(SHA\). Ta có: \[\sin(\angle SHA) = \frac{SO}{SA} = \frac{2\sqrt{6}}{7}\] Do đó, góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là: \[\angle SHA = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)\] Đáp số: a) \(SO \perp (ABCD)\) b) \((SAD) \perp (SOM)\) c) Góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \((ABCD)\) là \(\arcsin\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)\) Câu 3 a) Ta có: \[ 7^{x+1} = 343 \] \[ 7^{x+1} = 7^3 \] Suy ra: \[ x + 1 = 3 \] \[ x = 2 \] b) Ta có: \[ 64^{4x-7} = (32\sqrt[5]{4})^x \] \[ (2^6)^{4x-7} = (2^5 \cdot 2^{\frac{2}{5}})^x \] \[ 2^{24x - 42} = 2^{5x + \frac{2x}{5}} \] \[ 24x - 42 = 5x + \frac{2x}{5} \] \[ 24x - 42 = \frac{25x + 2x}{5} \] \[ 24x - 42 = \frac{27x}{5} \] \[ 120x - 210 = 27x \] \[ 93x = 210 \] \[ x = \frac{210}{93} = \frac{70}{31} \] c) Ta có: \[ \log_5(x^2 - 10) = \log_5(6x - 5) \] Suy ra: \[ x^2 - 10 = 6x - 5 \] \[ x^2 - 6x - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{14}}{2} = 3 \pm \sqrt{14} \] Điều kiện: \( x^2 - 10 > 0 \) và \( 6x - 5 > 0 \) \[ x^2 > 10 \Rightarrow x < -\sqrt{10} \text{ hoặc } x > \sqrt{10} \] \[ 6x > 5 \Rightarrow x > \frac{5}{6} \] Do đó, nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện là: \[ x = 3 + \sqrt{14} \] d) Ta có: \[ \log_3 x^5 - \log_3 \sqrt{x} - \log_3 \sqrt[3]{x} = 25 \] \[ \log_3 x^5 - \log_3 x^{\frac{1}{2}} - \log_3 x^{\frac{1}{3}} = 25 \] \[ \log_3 \left( \frac{x^5}{x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}}} \right) = 25 \] \[ \log_3 \left( x^{5 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) = 25 \] \[ \log_3 \left( x^{\frac{25}{6}} \right) = 25 \] \[ \frac{25}{6} \log_3 x = 25 \] \[ \log_3 x = 6 \] \[ x = 3^6 = 729 \] Đáp số: a) \( x = 2 \) b) \( x = \frac{70}{31} \) c) \( x = 3 + \sqrt{14} \) d) \( x = 729 \) Câu 4 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng công thức lãi suất kép. Công thức lãi suất kép được viết dưới dạng: \[ A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t \] Trong đó: - \( A \) là tổng số tiền sau khi gửi. - \( P \) là số tiền ban đầu. - \( r \) là lãi suất hàng năm. - \( t \) là thời gian gửi (đơn vị: năm). Ở đây, \( P = 300 \) triệu đồng, \( r = 6 \% \), và \( A = 506 \) triệu đồng. Chúng ta cần tìm thời gian \( t \) để đạt được tổng số tiền là 506 triệu đồng. Thay các giá trị vào công thức: \[ 506 = 300 \left(1 + \frac{6}{100}\right)^t \] \[ 506 = 300 \left(1.06\right)^t \] Chia cả hai vế cho 300: \[ \frac{506}{300} = (1.06)^t \] \[ 1.6867 = (1.06)^t \] Bây giờ, chúng ta cần tìm \( t \) sao cho \( (1.06)^t = 1.6867 \). Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thử và sai hoặc sử dụng máy tính để tìm giá trị \( t \). Sử dụng máy tính, ta có: \[ t \approx 9.006 \text{ năm} \] Vì thời gian gửi phải là số nguyên tháng, chúng ta sẽ làm tròn lên đến 10 năm. Do đó, ông D phải gửi tối thiểu 10 năm, tương đương với 120 tháng. Đáp số: 120 tháng.