giúp với ạ

Câu 4. Để xác định đồ thị của hàm số nào trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số để xem nó có thỏa mãn các đặc điểm của đồ thị đã cho hay không. Đầu tiên, chúng ta cần xác định các đặc điểm của đồ thị: 1. Đồ thị có đường tiệm cận đứng tại \( x = 2 \). 2. Đồ thị có đường tiệm cận chéo \( y = x + 1 \). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số: A. \( y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x = 2 \) - Đường tiệm cận chéo: Ta thực hiện phép chia \( x^2 - x - 1 \) cho \( x - 2 \): \[ \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} = x + 1 + \frac{1}{x - 2} \] Vậy đường tiệm cận chéo là \( y = x + 1 \). B. \( y = \frac{x^2 + x - 1}{x - 2} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x = 2 \) - Đường tiệm cận chéo: Ta thực hiện phép chia \( x^2 + x - 1 \) cho \( x - 2 \): \[ \frac{x^2 + x - 1}{x - 2} = x + 3 + \frac{5}{x - 2} \] Vậy đường tiệm cận chéo là \( y = x + 3 \). C. \( y = \frac{x^2 - 2x - 1}{x - 2} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x = 2 \) - Đường tiệm cận chéo: Ta thực hiện phép chia \( x^2 - 2x - 1 \) cho \( x - 2 \): \[ \frac{x^2 - 2x - 1}{x - 2} = x - \frac{1}{x - 2} \] Vậy đường tiệm cận chéo là \( y = x \). D. \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 2} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x = 2 \) - Đường tiệm cận chéo: Ta thực hiện phép chia \( x^2 - x + 1 \) cho \( x - 2 \): \[ \frac{x^2 - x + 1}{x - 2} = x + 1 + \frac{3}{x - 2} \] Vậy đường tiệm cận chéo là \( y = x + 1 \). Từ các phép tính trên, chúng ta thấy rằng chỉ có hàm số \( y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} \) có đường tiệm cận đứng là \( x = 2 \) và đường tiệm cận chéo là \( y = x + 1 \). Vậy đáp án đúng là: A. \( y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} \). Câu 5. Để tính \((\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA})^2\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định \(\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA}\): \[ \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA} = \overrightarrow{AC} \] Bước 2: Tính \(\overrightarrow{AC}^2\): \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{AC}^2 = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})^2 \] Bước 3: Áp dụng công thức bình phương: \[ (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})^2 = \overrightarrow{AB}^2 + 2 \cdot \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD}^2 \] Bước 4: Thay các giá trị đã biết vào: \[ \overrightarrow{AB}^2 = AB^2 = 6^2 = 36 \] \[ \overrightarrow{AD}^2 = AD^2 = 4^2 = 16 \] \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = -12 \] Bước 5: Tính tổng: \[ \overrightarrow{AC}^2 = 36 + 2 \cdot (-12) + 16 = 36 - 24 + 16 = 28 \] Vậy \((\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA})^2 = 28\). Đáp án đúng là: B. 28. Câu 6. Hình chiếu của điểm \( A(2; -1; 3) \) trên trục Oz là điểm có tọa độ \( (0; 0; z) \), trong đó \( z \) là tọa độ z của điểm \( A \). Do đó, hình chiếu của \( A \) trên trục Oz là điểm \( P(0; 0; 3) \). Đáp án đúng là: B. \( P(0; 0; 3) \). Câu 7. Để tìm tọa độ của điểm M, ta sử dụng công thức tính tọa độ của vectơ MN từ tọa độ của hai điểm M và N. Tọa độ của điểm N là \( N(3;1;0) \). Tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{MN} \) là \( (-1; -1; 0) \). Giả sử tọa độ của điểm M là \( M(x; y; z) \). Theo công thức tính tọa độ của vectơ, ta có: \[ \overrightarrow{MN} = (3 - x; 1 - y; 0 - z) \] So sánh với tọa độ của vectơ \( \overrightarrow{MN} = (-1; -1; 0) \), ta được hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3 - x = -1 \\ 1 - y = -1 \\ 0 - z = 0 \end{cases} \] Giải từng phương trình: 1. \( 3 - x = -1 \) \[ x = 3 + 1 = 4 \] 2. \( 1 - y = -1 \) \[ y = 1 + 1 = 2 \] 3. \( 0 - z = 0 \) \[ z = 0 \] Vậy tọa độ của điểm M là \( M(4; 2; 0) \). Đáp án đúng là: C. \( M(4; 2; 0) \). Câu 8. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow u + 2\overrightarrow v$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính 2 lần vectơ $\overrightarrow v$: \[ 2\overrightarrow v = 2 \cdot (1; 3; 1) = (2 \cdot 1; 2 \cdot 3; 2 \cdot 1) = (2; 6; 2) \] Bước 2: Cộng vectơ $\overrightarrow u$ với vectơ $2\overrightarrow v$: \[ \overrightarrow u + 2\overrightarrow v = (2; 1; -1) + (2; 6; 2) = (2 + 2; 1 + 6; -1 + 2) = (4; 7; 1) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow u + 2\overrightarrow v$ là $(4; 7; 1)$. Do đó, đáp án đúng là: D. $(4; 7; 1)$ Câu 9. Để tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] Trước tiên, ta tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\): \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (1) \left(\frac{1}{2}\right) + (0) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + (0)(0) = \frac{1}{2} \] Tiếp theo, ta tính độ dài của mỗi vectơ: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{(1)^2 + (0)^2 + (0)^2} = \sqrt{1} = 1 \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + (0)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1 \] Bây giờ, ta thay các giá trị vào công thức cosin: \[ \cos \theta = \frac{\frac{1}{2}}{1 \times 1} = \frac{1}{2} \] Từ đây, ta suy ra góc \(\theta\) bằng: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ \] Vậy góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là \(60^\circ\). Đáp số: \(60^\circ\)