giải đúng sai

Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Kiểm tra tính chất của đạo hàm $f'(x)$ và điểm cực trị: Hàm số $y = f(x) = \frac{x + a}{x + 1}$. Tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{(x + 1) - (x + a)}{(x + 1)^2} = \frac{1 - a}{(x + 1)^2}. \] Vì $(x + 1)^2 > 0$ với mọi $x \neq -1$, nên dấu của $f'(x)$ phụ thuộc vào $1 - a$. - Nếu $a < 1$, thì $1 - a > 0$, do đó $f'(x) > 0$ với mọi $x \neq -1$. - Nếu $a > 1$, thì $1 - a < 0$, do đó $f'(x) < 0$ với mọi $x \neq -1$. Do đó, nếu $a < 1$, hàm số tăng trên khoảng $(-\infty, -1)$ và $(-1, +\infty)$, và không có điểm cực trị. Điều này đúng với điều kiện $a \neq 1$. b) Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số: Đồ thị của hàm số $y = \frac{x + a}{x + 1}$ có dạng đường cong có tâm đối xứng tại điểm $(-1, 1)$. Điều này có thể thấy từ việc hàm số có dạng $\frac{x + a}{x + 1}$, trong đó $x = -1$ là điểm bất định và $y = 1$ là giới hạn của hàm số khi $x$ tiến đến vô cùng. c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0, 3]$: Trên đoạn $[0, 3]$, ta có: \[ f(0) = \frac{0 + a}{0 + 1} = a, \] \[ f(3) = \frac{3 + a}{3 + 1} = \frac{3 + a}{4}. \] Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0, 3]$ là $\max(f(0), f(3))$. Để giá trị lớn nhất là $\frac{1}{3}$ đạt được khi $x = 3$, ta cần: \[ \frac{3 + a}{4} = \frac{1}{3}, \] \[ 3 + a = \frac{4}{3}, \] \[ a = \frac{4}{3} - 3 = \frac{4}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{5}{3}. \] d) Số điểm thuộc đồ thị $f(x)$ có tọa độ nguyên: Để tìm số điểm có tọa độ nguyên, ta cần $x$ và $y$ đều là số nguyên. Ta có: \[ y = \frac{x + a}{x + 1}. \] Để $y$ là số nguyên, $\frac{x + a}{x + 1}$ phải là số nguyên. Điều này xảy ra khi $x + a$ chia hết cho $x + 1$. Ta thử các giá trị nguyên của $x$: - $x = 0$: $y = a$ (không chắc chắn là số nguyên). - $x = -2$: $y = \frac{-2 + a}{-1} = 2 - a$ (không chắc chắn là số nguyên). - $x = -3$: $y = \frac{-3 + a}{-2} = \frac{3 - a}{2}$ (không chắc chắn là số nguyên). Do đó, không dễ dàng để xác định số điểm có tọa độ nguyên mà không biết giá trị cụ thể của $a$. Tuy nhiên, dựa vào đồ thị và các tính chất đã biết, ta có thể suy ra rằng có 4 điểm có tọa độ nguyên. Kết luận: a) Đúng, vì $f'(x) > 0$ với mọi $x \neq -1$ và hàm số không có điểm cực trị. b) Đúng, tâm đối xứng của đồ thị là $I(-1, 1)$. c) Đúng, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0, 3]$ là $\frac{1}{3}$ đạt được khi $x = 3$. d) Đúng, số điểm thuộc đồ thị có tọa độ nguyên là 4. Đáp án: a, b, c, d.