Vdjmababck e xjama

Câu 1: Để tìm thời điểm mà số lượng ong của đàn tăng nhanh nhất, chúng ta cần tìm giá trị của \( t \) sao cho đạo hàm của \( P(t) \) đạt giá trị lớn nhất. Bước 1: Tính đạo hàm của \( P(t) \). \[ P(t) = \frac{20000}{1 + 1000e^{-t}} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ P'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{20000}{1 + 1000e^{-t}} \right) \] \[ P'(t) = 20000 \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{1 + 1000e^{-t}} \right) \] \[ P'(t) = 20000 \cdot \left( -\frac{1}{(1 + 1000e^{-t})^2} \cdot (-1000e^{-t}) \right) \] \[ P'(t) = \frac{20000 \cdot 1000e^{-t}}{(1 + 1000e^{-t})^2} \] \[ P'(t) = \frac{20000000e^{-t}}{(1 + 1000e^{-t})^2} \] Bước 2: Tìm giá trị của \( t \) để \( P'(t) \) đạt giá trị lớn nhất. Để tìm giá trị của \( t \) sao cho \( P'(t) \) đạt giá trị lớn nhất, chúng ta cần tìm đạo hàm của \( P'(t) \) và đặt nó bằng 0. \[ P''(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{20000000e^{-t}}{(1 + 1000e^{-t})^2} \right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ P''(t) = 20000000 \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{e^{-t}}{(1 + 1000e^{-t})^2} \right) \] \[ P''(t) = 20000000 \cdot \left( \frac{(1 + 1000e^{-t})^2 \cdot (-e^{-t}) - e^{-t} \cdot 2(1 + 1000e^{-t}) \cdot (-1000e^{-t})}{(1 + 1000e^{-t})^4} \right) \] \[ P''(t) = 20000000 \cdot \left( \frac{-e^{-t}(1 + 1000e^{-t})^2 + 2000e^{-2t}(1 + 1000e^{-t})}{(1 + 1000e^{-t})^4} \right) \] \[ P''(t) = 20000000 \cdot \left( \frac{-e^{-t}(1 + 1000e^{-t}) + 2000e^{-2t}}{(1 + 1000e^{-t})^3} \right) \] \[ P''(t) = 20000000 \cdot \left( \frac{-e^{-t} - 1000e^{-2t} + 2000e^{-2t}}{(1 + 1000e^{-t})^3} \right) \] \[ P''(t) = 20000000 \cdot \left( \frac{-e^{-t} + 1000e^{-2t}}{(1 + 1000e^{-t})^3} \right) \] Đặt \( P''(t) = 0 \): \[ \frac{-e^{-t} + 1000e^{-2t}}{(1 + 1000e^{-t})^3} = 0 \] \[ -e^{-t} + 1000e^{-2t} = 0 \] \[ 1000e^{-2t} = e^{-t} \] \[ 1000e^{-t} = 1 \] \[ e^{-t} = \frac{1}{1000} \] \[ -t = \ln \left( \frac{1}{1000} \right) \] \[ -t = -\ln(1000) \] \[ t = \ln(1000) \] \[ t \approx 6.91 \] Vậy, tại thời điểm \( t \approx 7 \) tuần, số lượng ong của đàn tăng nhanh nhất. Câu 2: Để tính diện tích tam giác ABC trong không gian Oxyz, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ AB và AC: - Vectơ $\overrightarrow{AB} = B - A = (5-1, -2-2, -3-3) = (4, -4, -6)$ - Vectơ $\overrightarrow{AC} = C - A = (0-1, 2-2, 2-3) = (-1, 0, -1)$ 2. Tính tích có hướng của vectơ AB và AC: - Tích có hướng $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ được tính bằng định nghĩa: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -4 & -6 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-4)(-1) - (-6)(0)) - \mathbf{j}((4)(-1) - (-6)(-1)) + \mathbf{k}((4)(0) - (-4)(-1)) \] \[ = \mathbf{i}(4 - 0) - \mathbf{j}(-4 - 6) + \mathbf{k}(0 - 4) = 4\mathbf{i} + 10\mathbf{j} - 4\mathbf{k} \] - Vậy $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (4, 10, -4)$ 3. Tính độ dài của vectơ tích có hướng: - Độ dài $\|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\|$: \[ \|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\| = \sqrt{4^2 + 10^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 100 + 16} = \sqrt{132} = 2\sqrt{33} \] 4. Diện tích tam giác ABC: - Diện tích tam giác ABC là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\| = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{33} = \sqrt{33} \] - Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai: \[ \sqrt{33} \approx 5.74 \] Vậy diện tích tam giác ABC là khoảng 5.74 đơn vị diện tích. Câu 3: Trước tiên, ta xác định tọa độ của các điểm trong hình lập phương ABCD.MNPQ với độ dài các cạnh là 3 cm. Giả sử: - Điểm A có tọa độ (0, 0, 0) - Điểm B có tọa độ (3, 0, 0) - Điểm C có tọa độ (3, 3, 0) - Điểm D có tọa độ (0, 3, 0) - Điểm M có tọa độ (0, 0, 3) - Điểm N có tọa độ (3, 0, 3) - Điểm P có tọa độ (3, 3, 3) - Điểm Q có tọa độ (0, 3, 3) Bây giờ, ta tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{PN}$. Vectơ $\overrightarrow{BD}$: \[ \overrightarrow{BD} = D - B = (0, 3, 0) - (3, 0, 0) = (-3, 3, 0) \] Vectơ $\overrightarrow{PN}$: \[ \overrightarrow{PN} = N - P = (3, 0, 3) - (3, 3, 3) = (0, -3, 0) \] Tiếp theo, ta tính tích vô hướng của hai vectơ này. Tích vô hướng của $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{PN}$: \[ \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{PN} = (-3) \cdot 0 + 3 \cdot (-3) + 0 \cdot 0 = 0 - 9 + 0 = -9 \] Vậy, tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{PN}$ là \(-9\). Câu 4: Để tính độ lớn của tổng ba lực $\overrightarrow{F}_1$, $\overrightarrow{F}_2$, và $\overrightarrow{F}_3$, ta sử dụng công thức tính độ lớn của vectơ tổng khi các vectơ có phương vuông góc với nhau. Cụ thể, nếu ba lực $\overrightarrow{F}_1$, $\overrightarrow{F}_2$, và $\overrightarrow{F}_3$ có độ lớn lần lượt là $F_1$, $F_2$, và $F_3$, thì độ lớn của tổng các lực này là: \[ |\overrightarrow{F}_1 + \overrightarrow{F}_2 + \overrightarrow{F}_3| = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + F_3^2} \] Áp dụng vào bài toán, ta có: \[ F_1 = 2 \text{ N}, \quad F_2 = 3 \text{ N}, \quad F_3 = 4 \text{ N} \] Do đó: \[ |\overrightarrow{F}_1 + \overrightarrow{F}_2 + \overrightarrow{F}_3| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} \] \[ = \sqrt{4 + 9 + 16} \] \[ = \sqrt{29} \] Tính giá trị của $\sqrt{29}$: \[ \sqrt{29} \approx 5.39 \] Vậy, giá trị của $a$ là: \[ a \approx 5.39 \] Đáp số: $a \approx 5.39$ Câu 5: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai của mẫu số liệu. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Ta lập bảng tần số lũy kế và tính trung vị của mẫu số liệu: | Nhóm | Số học sinh | Trung điểm | Số học sinh × Trung điểm | |------|-------------|------------|--------------------------| | [1; 2) | 8 | 1.5 | 8 × 1.5 = 12 | | [2; 3) | 10 | 2.5 | 10 × 2.5 = 25 | | [3; 4) | 12 | 3.5 | 12 × 3.5 = 42 | | [4; 5) | 9 | 4.5 | 9 × 4.5 = 40.5 | | [5; 6) | 3 | 5.5 | 3 × 5.5 = 16.5 | Tổng số học sinh là 42. Trung bình cộng của mẫu số liệu là: \[ \bar{x} = \frac{\sum (số học sinh \times trung điểm)}{tổng số học sinh} = \frac{12 + 25 + 42 + 40.5 + 16.5}{42} = \frac{136}{42} \approx 3.24 \] Bước 2: Tính phương sai của mẫu số liệu Phương sai của mẫu số liệu là: \[ s^2 = \frac{\sum (số học sinh \times (trung điểm - \bar{x})^2)}{tổng số học sinh - 1} \] Ta tính các giá trị cần thiết: | Nhóm | Số học sinh | Trung điểm | Trung điểm - \bar{x} | (Trung điểm - \bar{x})^2 | Số học sinh × (Trung điểm - \bar{x})^2 | |------|-------------|------------|-----------------------|---------------------------|----------------------------------------| | [1; 2) | 8 | 1.5 | 1.5 - 3.24 = -1.74 | (-1.74)^2 = 3.0276 | 8 × 3.0276 = 24.2208 | | [2; 3) | 10 | 2.5 | 2.5 - 3.24 = -0.74 | (-0.74)^2 = 0.5476 | 10 × 0.5476 = 5.476 | | [3; 4) | 12 | 3.5 | 3.5 - 3.24 = 0.26 | (0.26)^2 = 0.0676 | 12 × 0.0676 = 0.8112 | | [4; 5) | 9 | 4.5 | 4.5 - 3.24 = 1.26 | (1.26)^2 = 1.5876 | 9 × 1.5876 = 14.2884 | | [5; 6) | 3 | 5.5 | 5.5 - 3.24 = 2.26 | (2.26)^2 = 5.1076 | 3 × 5.1076 = 15.3228 | Tổng của các giá trị "Số học sinh × (Trung điểm - \bar{x})^2" là: \[ 24.2208 + 5.476 + 0.8112 + 14.2884 + 15.3228 = 60.1192 \] Phương sai của mẫu số liệu là: \[ s^2 = \frac{60.1192}{42 - 1} = \frac{60.1192}{41} \approx 1.47 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 1.47 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Câu 6: Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 - 5x + 7}{x - 3} \), ta thực hiện phép chia đa thức \( x^2 - 5x + 7 \) cho \( x - 3 \). Thực hiện phép chia: \[ \begin{array}{r|rr} & x & -2 \\ \hline x-3 & x^2 & -5x & +7 \\ & x^2 & -3x & \\ \hline & & -2x & +7 \\ & & -2x & +6 \\ \hline & & & 1 \\ \end{array} \] Ta có: \[ \frac{x^2 - 5x + 7}{x - 3} = x - 2 + \frac{1}{x - 3} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), phần \( \frac{1}{x - 3} \) sẽ tiến đến 0. Vậy đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = x - 2 \] Trong đó, \( a = 1 \) và \( b = -2 \). Bây giờ, ta tính \( 3a - 2b^2 \): \[ 3a - 2b^2 = 3(1) - 2(-2)^2 = 3 - 2 \cdot 4 = 3 - 8 = -5 \] Vậy đáp án là: \[ \boxed{-5} \]