toánnnnnnnn

Bài tập 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. Phần a: Tìm vận tốc của vật sau 2 giây. Vận tốc của vật được tính bằng đạo hàm của hàm số độ cao \( h(t) \). \[ v(t) = \frac{d}{dt} h(t) = \frac{d}{dt} (2 + 24,5t - 4,9t^2) \] Tính đạo hàm: \[ v(t) = 24,5 - 9,8t \] Sau 2 giây, vận tốc của vật là: \[ v(2) = 24,5 - 9,8 \times 2 = 24,5 - 19,6 = 4,9 \text{ m/s} \] Phần b: Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu? Độ cao lớn nhất xảy ra khi đạo hàm của \( h(t) \) bằng 0. \[ v(t) = 24,5 - 9,8t = 0 \] Giải phương trình: \[ 24,5 = 9,8t \] \[ t = \frac{24,5}{9,8} = 2,5 \text{ giây} \] Độ cao lớn nhất là: \[ h(2,5) = 2 + 24,5 \times 2,5 - 4,9 \times (2,5)^2 \] \[ h(2,5) = 2 + 61,25 - 4,9 \times 6,25 \] \[ h(2,5) = 2 + 61,25 - 30,625 \] \[ h(2,5) = 32,625 \text{ mét} \] Phần c: Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu? Vật chạm đất khi độ cao \( h(t) = 0 \). \[ 2 + 24,5t - 4,9t^2 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai: \[ -4,9t^2 + 24,5t + 2 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = -4,9 \), \( b = 24,5 \), \( c = 2 \): \[ t = \frac{-24,5 \pm \sqrt{(24,5)^2 - 4(-4,9)(2)}}{2(-4,9)} \] \[ t = \frac{-24,5 \pm \sqrt{600,25 + 39,2}}{-9,8} \] \[ t = \frac{-24,5 \pm \sqrt{639,45}}{-9,8} \] \[ t = \frac{-24,5 \pm 25,29}{-9,8} \] Lấy nghiệm dương: \[ t = \frac{-24,5 + 25,29}{-9,8} \approx 0,08 \text{ giây} \] (loại vì không hợp lý) \[ t = \frac{-24,5 - 25,29}{-9,8} \approx 5,1 \text{ giây} \] Vận tốc của vật khi chạm đất: \[ v(5,1) = 24,5 - 9,8 \times 5,1 \] \[ v(5,1) = 24,5 - 49,98 \] \[ v(5,1) = -25,48 \text{ m/s} \] Kết luận: a) Vận tốc của vật sau 2 giây là 4,9 m/s. b) Vật đạt độ cao lớn nhất sau 2,5 giây và độ cao lớn nhất là 32,625 mét. c) Vật chạm đất sau khoảng 5,1 giây và vận tốc của vật lúc chạm đất là -25,48 m/s. Bài tập 2: Giả sử giá vé giảm thêm $x$ lần, mỗi lần 10 nghìn đồng. Số vé giảm đi là $10x$ nghìn đồng. Số khán giả tăng thêm là $3000x$ người. Giá vé mới là $(100 - 10x)$ nghìn đồng. Số khán giả mua vé là $(27000 + 3000x)$ người. Doanh thu từ tiền bán vé là: \[ f(x) = (100 - 10x)(27000 + 3000x) \] \[ f(x) = 2700000 + 300000x - 270000x - 30000x^2 \] \[ f(x) = -30000x^2 + 30000x + 2700000 \] Để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$. Ta tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = -60000x + 30000 \] Đặt $f'(x) = 0$ để tìm điểm cực trị: \[ -60000x + 30000 = 0 \] \[ x = \frac{30000}{60000} = 0.5 \] Ta kiểm tra dấu của $f'(x)$ ở hai bên điểm $x = 0.5$: - Khi $x < 0.5$, $f'(x) > 0$ (hàm số đang tăng). - Khi $x > 0.5$, $f'(x) < 0$ (hàm số đang giảm). Vậy $x = 0.5$ là điểm cực đại của hàm số $f(x)$. Giá vé mới là: \[ 100 - 10 \times 0.5 = 95 \text{ nghìn đồng} \] Vậy ban tổ chức nên đặt giá vé là 95 nghìn đồng để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất. Bài tập 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: Phần a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây. Vận tốc của vật được tính bằng đạo hàm của hàm số độ cao \( h(t) \). \[ v(t) = h'(t) \] Tính đạo hàm của \( h(t) \): \[ h(t) = 2 + 24,5t - 4,9t^2 \] \[ h'(t) = 24,5 - 9,8t \] Vận tốc của vật sau 2 giây: \[ v(2) = 24,5 - 9,8 \times 2 = 24,5 - 19,6 = 4,9 \text{ m/s} \] Phần b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu? Độ cao lớn nhất xảy ra khi đạo hàm của \( h(t) \) bằng 0: \[ h'(t) = 24,5 - 9,8t = 0 \] \[ 9,8t = 24,5 \] \[ t = \frac{24,5}{9,8} = 2,5 \text{ giây} \] Độ cao lớn nhất: \[ h(2,5) = 2 + 24,5 \times 2,5 - 4,9 \times (2,5)^2 \] \[ h(2,5) = 2 + 61,25 - 4,9 \times 6,25 \] \[ h(2,5) = 2 + 61,25 - 30,625 \] \[ h(2,5) = 32,625 \text{ mét} \] Phần c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu? Vật chạm đất khi độ cao \( h(t) = 0 \): \[ 2 + 24,5t - 4,9t^2 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai: \[ -4,9t^2 + 24,5t + 2 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = -4,9 \), \( b = 24,5 \), \( c = 2 \): \[ t = \frac{-24,5 \pm \sqrt{(24,5)^2 - 4(-4,9)(2)}}{2(-4,9)} \] \[ t = \frac{-24,5 \pm \sqrt{600,25 + 39,2}}{-9,8} \] \[ t = \frac{-24,5 \pm \sqrt{639,45}}{-9,8} \] \[ t = \frac{-24,5 \pm 25,29}{-9,8} \] Lấy nghiệm dương: \[ t = \frac{-24,5 + 25,29}{-9,8} \approx 0,08 \text{ giây} \] (loại vì không hợp lý) \[ t = \frac{-24,5 - 25,29}{-9,8} \approx 5,1 \text{ giây} \] Vận tốc của vật lúc chạm đất: \[ v(5,1) = 24,5 - 9,8 \times 5,1 \] \[ v(5,1) = 24,5 - 49,98 \] \[ v(5,1) = -25,48 \text{ m/s} \] Kết luận: a) Vận tốc của vật sau 2 giây là 4,9 m/s. b) Vật đạt độ cao lớn nhất sau 2,5 giây và độ cao lớn nhất là 32,625 mét. c) Vật chạm đất sau khoảng 5,1 giây và vận tốc của vật lúc chạm đất là -25,48 m/s. Bài tập 4: Để tìm vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc: Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian. Ta có: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(-2t^3 + 24t^2 + 9t - 3) \] Tính đạo hàm: \[ v(t) = -6t^2 + 48t + 9 \] 2. Tìm thời điểm mà vận tốc đạt cực đại: Để tìm vận tốc lớn nhất, ta cần tìm điểm cực đại của hàm số \(v(t)\). Ta tính đạo hàm của \(v(t)\): \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(-6t^2 + 48t + 9) = -12t + 48 \] Đặt đạo hàm này bằng 0 để tìm điểm cực đại: \[ -12t + 48 = 0 \implies t = 4 \] 3. Kiểm tra tính chất của điểm cực đại: Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \(v(t)\): \[ v''(t) = \frac{d}{dt}(-12t + 48) = -12 \] Vì \(v''(t) < 0\), nên \(t = 4\) là điểm cực đại của \(v(t)\). 4. Tính vận tốc tại thời điểm \(t = 4\): Thay \(t = 4\) vào công thức của \(v(t)\): \[ v(4) = -6(4)^2 + 48(4) + 9 = -6 \cdot 16 + 192 + 9 = -96 + 192 + 9 = 105 \] 5. Kiểm tra vận tốc tại các biên của khoảng thời gian: Ta cũng cần kiểm tra vận tốc tại các biên của khoảng thời gian 0 đến 10 giây: \[ v(0) = -6(0)^2 + 48(0) + 9 = 9 \] \[ v(10) = -6(10)^2 + 48(10) + 9 = -600 + 480 + 9 = -111 \] So sánh các giá trị: - \(v(0) = 9\) - \(v(4) = 105\) - \(v(10) = -111\) Như vậy, vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây là 105 m/s, đạt được khi \(t = 4\) giây. Đáp số: Vận tốc lớn nhất của vật là 105 m/s, đạt được khi \(t = 4\) giây. Bài tập 5: Giả sử giá cho thuê mỗi căn hộ tăng thêm \( x \) lần, mỗi lần 100.000 đồng. Khi đó, giá cho thuê mỗi căn hộ sẽ là: \[ 2.000.000 + 100.000x \] Số căn hộ bị bỏ trống là: \[ 2x \] Số căn hộ còn lại có người thuê là: \[ 50 - 2x \] Thu nhập hàng tháng của công ty từ việc cho thuê căn hộ là: \[ y = (2.000.000 + 100.000x)(50 - 2x) \] \[ y = 100.000(20 + x)(50 - 2x) \] \[ y = 100.000(1000 + 30x - 2x^2) \] \[ y = 100.000(-2x^2 + 30x + 1000) \] Để thu nhập hàng tháng của công ty đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho \( y \) đạt giá trị lớn nhất. Ta có: \[ y' = 100.000(-4x + 30) \] Đặt \( y' = 0 \): \[ -4x + 30 = 0 \] \[ x = \frac{30}{4} = 7.5 \] Vì \( x \) phải là số nguyên nên ta xét hai trường hợp gần nhất là \( x = 7 \) và \( x = 8 \). - Khi \( x = 7 \): \[ y = 100.000(-2(7)^2 + 30(7) + 1000) \] \[ y = 100.000(-98 + 210 + 1000) \] \[ y = 100.000(1112) \] \[ y = 111.200.000 \] - Khi \( x = 8 \): \[ y = 100.000(-2(8)^2 + 30(8) + 1000) \] \[ y = 100.000(-128 + 240 + 1000) \] \[ y = 100.000(1112) \] \[ y = 111.200.000 \] Như vậy, cả hai trường hợp \( x = 7 \) và \( x = 8 \) đều cho thu nhập hàng tháng của công ty là 111.200.000 đồng. Do đó, giá cho thuê mỗi căn hộ để thu nhập hàng tháng của công ty đạt giá trị lớn nhất là: \[ 2.000.000 + 100.000 \times 7 = 2.700.000 \text{ đồng} \] Hoặc \[ 2.000.000 + 100.000 \times 8 = 2.800.000 \text{ đồng} \] Vậy, công ty đó phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là 2.700.000 đồng hoặc 2.800.000 đồng để có thu nhập cao nhất. Bài tập 6: Giả sử cửa hàng giảm giá bán mỗi quả bưởi là \( x \times 5000 \) đồng (với \( x \) là số tự nhiên). Số quả bưởi bán được sẽ là \( 40 + 50x \) quả. Giá bán mỗi quả bưởi sau khi giảm là \( 50000 - 5000x \) đồng. Lợi nhuận thu được từ việc bán bưởi là: \[ P = (50000 - 5000x - 30000)(40 + 50x) \] \[ = (20000 - 5000x)(40 + 50x) \] \[ = 800000 + 1000000x - 200000x - 250000x^2 \] \[ = 800000 + 800000x - 250000x^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của \( P \), ta lấy đạo hàm của \( P \) theo \( x \) và đặt nó bằng 0: \[ P' = 800000 - 500000x \] \[ 800000 - 500000x = 0 \] \[ 500000x = 800000 \] \[ x = \frac{800000}{500000} = 1.6 \] Vì \( x \) phải là số tự nhiên, ta xét hai giá trị gần nhất là \( x = 1 \) và \( x = 2 \): - Khi \( x = 1 \): \[ P = (20000 - 5000 \times 1)(40 + 50 \times 1) = 15000 \times 90 = 1350000 \] - Khi \( x = 2 \): \[ P = (20000 - 5000 \times 2)(40 + 50 \times 2) = 10000 \times 140 = 1400000 \] Như vậy, lợi nhuận lớn nhất đạt được khi \( x = 2 \). Giá bán mỗi quả bưởi để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất là: \[ 50000 - 5000 \times 2 = 40000 \text{ đồng} \] Đáp số: Giá bán mỗi quả bưởi để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất là 40.000 đồng. Bài tập 7: Chiều dài bể cá là $2x$, chiều cao bể cá là $y$. Diện tích toàn phần của bể cá là: $S = 2xy + 2xy + x^2 = 5,5$ Suy ra: $y = \frac{5,5 - x^2}{4x}$ Dung tích của bể cá là: $V = 2x^2y = \frac{x(5,5 - x^2)}{2} = \frac{-x^3 + 5,5x}{2}$ Ta có: $V' = \frac{-3x^2 + 5,5}{2}$ $V' = 0 \Leftrightarrow \frac{-3x^2 + 5,5}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{16,5}}{3}$ (loại âm) Bảng biến thiên: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \frac{\sqrt{16,5}}{3} & +\infty \\ \hline V' & 0 & + & 0 \\ \hline V & 0 & tăng & giảm \\ \hline \end{array} \] Vậy $V_{max} = \frac{-\left(\frac{\sqrt{16,5}}{3}\right)^3 + 5,5 \times \frac{\sqrt{16,5}}{3}}{2} \approx 2,01$ Đáp số: $2,01~m^3$ Bài tập 8: Đầu tiên, ta tính cạnh của tấm bìa hình vuông ban đầu: \[ s = \sqrt{900} = 30 \text{ cm} \] Khi cắt bốn góc của tấm bìa, mỗi góc là một hình vuông có cạnh \(x\) cm, ta sẽ còn lại một phần tam giác vuông ở mỗi góc. Khi gập tấm bìa lại, chiều cao của hình hộp chữ nhật sẽ là \(x\) cm, chiều dài và chiều rộng của đáy hình hộp sẽ là: \[ 30 - 2x \text{ cm} \] Thể tích \(V\) của hình hộp chữ nhật là: \[ V = x(30 - 2x)^2 \] Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(V\). Để làm điều này, ta sẽ sử dụng đạo hàm. Bước 1: Tính đạo hàm của \(V\) theo \(x\): \[ V = x(30 - 2x)^2 \] \[ V' = (30 - 2x)^2 + x \cdot 2(30 - 2x)(-2) \] \[ V' = (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) \] \[ V' = (30 - 2x)(30 - 2x - 4x) \] \[ V' = (30 - 2x)(30 - 6x) \] Bước 2: Tìm điểm cực đại bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ (30 - 2x)(30 - 6x) = 0 \] \[ 30 - 2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 30 - 6x = 0 \] \[ x = 15 \quad \text{hoặc} \quad x = 5 \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện \(0 < x < 15\) để đảm bảo rằng \(30 - 2x > 0\). Bước 4: Thử các giá trị \(x = 5\) và \(x = 15\) vào biểu thức thể tích \(V\): \[ V(5) = 5(30 - 2 \cdot 5)^2 = 5 \cdot 20^2 = 5 \cdot 400 = 2000 \text{ cm}^3 \] \[ V(15) = 15(30 - 2 \cdot 15)^2 = 15 \cdot 0^2 = 0 \text{ cm}^3 \] Như vậy, giá trị lớn nhất của thể tích \(V\) là 2000 cm³, đạt được khi \(x = 5\) cm. Đáp số: Thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật là 2000 cm³, đạt được khi \(x = 5\) cm.