toaonnnnnnnn

Bài tập 9: Gọi chiều rộng của bể cá là $x\text\ (m)$, $(0 < x < 2,75).$ Chiều dài của bể cá là $2x\text\ (m).$ Chiều cao của bể cá là $\frac{5,5 - 2x^2}{4x}\text\ (m).$ Dung tích của bể cá là $V(x) = 2x^2 \times \frac{5,5 - 2x^2}{4x} = \frac{x(5,5 - 2x^2)}{2},\text\ (0 < x < 2,75).$ Ta có $V'(x) = \frac{5,5 - 6x^2}{2}.$ $V'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\sqrt{33}}{6}.$ Ta có $V(\frac{\sqrt{33}}{6}) = \frac{11\sqrt{33}}{72} \approx 0,91.$ Vậy dung tích lớn nhất của bể cá là $0,91\text\ {m}^3.$ Bài tập 10: Gọi chiều rộng của bể nước là $x$ (m), $x > 0$. Chiều dài của bể nước là $2x$ (m). Chiều cao của bể nước là $\frac{\frac{500}{3}}{x \cdot 2x} = \frac{250}{3x^2}$ (m). Diện tích toàn phần của bể nước là $2x \cdot 2x + 2 \cdot x \cdot \frac{250}{3x^2} + 2 \cdot 2x \cdot \frac{250}{3x^2} = 2x^2 + \frac{500}{3x} + \frac{1000}{3x} = 2x^2 + \frac{500}{x}$ (m²). Chi phí thuê nhân công là $700000 \cdot (2x^2 + \frac{500}{x}) = 1400000x^2 + \frac{350000000}{x}$ (đồng). Ta có $f(x) = 1400000x^2 + \frac{350000000}{x}$, $x > 0$. $f'(x) = 2800000x - \frac{350000000}{x^2}$. $f'(x) = 0$ $2800000x - \frac{350000000}{x^2} = 0$ $x = 5$. Do đó, $x = 5$ là điểm cực tiểu của $f(x)$. Vậy, để chi phí thuê nhân công ít nhất thì chiều rộng của bể nước là 5 m, chiều dài của bể nước là 10 m và chiều cao của bể nước là $\frac{10}{3}$ m. Khi đó, chi phí thuê nhân công là $1400000 \cdot 5^2 + \frac{350000000}{5} = 70000000$ (đồng). Bài tập 11: Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Phần a) Lượng xăng ban đầu trong bình Ban đầu tức là khi \( t = 0 \). Ta thay \( t = 0 \) vào công thức \( V(t) \): \[ V(0) = 300(0^2 - 0^3) + 4,5 = 4,5 \text{ lít} \] Vậy lượng xăng ban đầu trong bình là 4,5 lít. Phần b) Số tiền người mua phải trả sau khi bơm 30 giây Thời gian bơm 30 giây tức là \( t = 0,5 \) phút. Ta thay \( t = 0,5 \) vào công thức \( V(t) \): \[ V(0,5) = 300((0,5)^2 - (0,5)^3) + 4,5 \] \[ V(0,5) = 300(0,25 - 0,125) + 4,5 \] \[ V(0,5) = 300 \times 0,125 + 4,5 \] \[ V(0,5) = 37,5 + 4,5 \] \[ V(0,5) = 42 \text{ lít} \] Số tiền người mua phải trả: \[ 42 \text{ lít} \times 21.000 \text{ đồng/lít} = 882.000 \text{ đồng} \] Phần c) Thời điểm tốc độ tăng thể tích lớn nhất Tốc độ tăng thể tích \( V'(t) \) được tính bằng đạo hàm của \( V(t) \): \[ V(t) = 300(t^2 - t^3) + 4,5 \] \[ V'(t) = 300(2t - 3t^2) \] \[ V'(t) = 600t - 900t^2 \] Để tìm thời điểm tốc độ tăng thể tích lớn nhất, ta cần tìm cực đại của \( V'(t) \). Ta tính đạo hàm của \( V'(t) \): \[ V''(t) = 600 - 1800t \] Đặt \( V''(t) = 0 \): \[ 600 - 1800t = 0 \] \[ 1800t = 600 \] \[ t = \frac{1}{3} \text{ phút} \] Đổi ra giây: \[ t = \frac{1}{3} \times 60 = 20 \text{ giây} \] Vậy tốc độ tăng thể tích lớn nhất vào thời điểm ở giây thứ 20. Phần d) Phương trình \( V'(t) = 0 \) Ta đã có: \[ V'(t) = 600t - 900t^2 \] Đặt \( V'(t) = 0 \): \[ 600t - 900t^2 = 0 \] \[ 300t(2 - 3t) = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm: \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = \frac{2}{3} \] Tuy nhiên, \( t = \frac{2}{3} \) không thuộc đoạn \([0; \frac{1}{2}]\). Do đó, phương trình \( V'(t) = 0 \) chỉ có một nghiệm duy nhất là \( t = 0 \) trên đoạn \([0; \frac{1}{2}]\). Kết luận - Lượng xăng ban đầu trong bình là 4,5 lít. - Số tiền người mua phải trả sau khi bơm 30 giây là 882.000 đồng. - Tốc độ tăng thể tích lớn nhất vào thời điểm ở giây thứ 20. - Phương trình \( V'(t) = 0 \) có một nghiệm duy nhất trên đoạn \([0; \frac{1}{2}]\). Bài tập 12: Để tìm lợi nhuận lớn nhất của doanh nghiệp, ta cần tính lợi nhuận \( P(x) \) từ doanh thu \( F(x) \) trừ đi chi phí \( C(x) \). 1. Tính doanh thu \( F(x) \): \[ F(x) = -2x^2 + 1312x \] 2. Tính chi phí \( C(x) \): \[ G(x) = x^2 - 77x + 1000 + \frac{40000}{x} \] \[ C(x) = x \cdot G(x) = x \left( x^2 - 77x + 1000 + \frac{40000}{x} \right) = x^3 - 77x^2 + 1000x + 40000 \] 3. Tính lợi nhuận \( P(x) \): \[ P(x) = F(x) - C(x) \] \[ P(x) = (-2x^2 + 1312x) - (x^3 - 77x^2 + 1000x + 40000) \] \[ P(x) = -x^3 + 75x^2 + 312x - 40000 \] 4. Tìm giá trị lớn nhất của \( P(x) \): Ta sử dụng đạo hàm để tìm điểm cực đại của \( P(x) \): \[ P'(x) = -3x^2 + 150x + 312 \] Đặt \( P'(x) = 0 \): \[ -3x^2 + 150x + 312 = 0 \] \[ x^2 - 50x - 104 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{50^2 + 4 \cdot 104}}{2} \] \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 + 416}}{2} \] \[ x = \frac{50 \pm \sqrt{2916}}{2} \] \[ x = \frac{50 \pm 54}{2} \] \[ x_1 = 52, \quad x_2 = -2 \] Do \( x \geq 1 \), ta chỉ xét \( x = 52 \). Kiểm tra đạo hàm thứ hai: \[ P''(x) = -6x + 150 \] \[ P''(52) = -6 \cdot 52 + 150 = -312 + 150 = -162 < 0 \] Vậy \( x = 52 \) là điểm cực đại của \( P(x) \). 5. Tính lợi nhuận tại \( x = 52 \): \[ P(52) = -(52)^3 + 75(52)^2 + 312(52) - 40000 \] \[ P(52) = -140608 + 202800 + 16224 - 40000 \] \[ P(52) = 38416 \text{ (nghìn đồng)} \] \[ P(52) = 38.416 \text{ (triệu đồng)} \] Làm tròn đến hàng đơn vị: \[ P(52) \approx 38 \text{ (triệu đồng)} \] Đáp số: 38 triệu đồng.