Giải em với

a) $\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4x+3}{x-5}$ - Thay \( x = 2 \) vào biểu thức: \[ \frac{2^2 - 4 \cdot 2 + 3}{2 - 5} = \frac{4 - 8 + 3}{-3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} \] Vậy $\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4x+3}{x-5} = \frac{1}{3}$ b) $\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-4x+3}{x-3}$ - Ta thấy rằng \( x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 1) \): \[ \lim_{x\rightarrow3}\frac{(x-3)(x-1)}{x-3} = \lim_{x\rightarrow3}(x-1) = 3 - 1 = 2 \] Vậy $\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2-4x+3}{x-3} = 2$ c) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}$ - Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{2} \] Vậy $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{2}$ d) $\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{1+7x}-2}{x-1}$ - Đặt \( t = \sqrt[3]{1+7x} \), khi đó \( t^3 = 1 + 7x \). Khi \( x \to 1 \), ta có \( t \to 2 \): \[ \lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{1+7x}-2}{x-1} = \lim_{t\rightarrow2}\frac{t-2}{\frac{t^3-1}{7}-1} = \lim_{t\rightarrow2}\frac{t-2}{\frac{t^3-8}{7}} = \lim_{t\rightarrow2}\frac{7(t-2)}{(t-2)(t^2+2t+4)} = \lim_{t\rightarrow2}\frac{7}{t^2+2t+4} = \frac{7}{2^2+2\cdot2+4} = \frac{7}{12} \] Vậy $\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt[3]{1+7x}-2}{x-1} = \frac{7}{12}$