Giai giup em

Câu 1: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( f(x) = \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \left( \frac{x^2 - 2x + 4}{x - 2} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(x^2 - 2x + 4)'(x - 2) - (x^2 - 2x + 4)(x - 2)'}{(x - 2)^2} \] Tính đạo hàm của tử và mẫu: \[ (x^2 - 2x + 4)' = 2x - 2 \] \[ (x - 2)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ f'(x) = \frac{(2x - 2)(x - 2) - (x^2 - 2x + 4)}{(x - 2)^2} \] Rút gọn biểu thức: \[ f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - 2x + 4 - x^2 + 2x - 4}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x}{(x - 2)^2} = \frac{x(x - 4)}{(x - 2)^2} \] 2. Xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \): Ta xét dấu của \( f'(x) = \frac{x(x - 4)}{(x - 2)^2} \): - Tử số \( x(x - 4) \) có các nghiệm \( x = 0 \) và \( x = 4 \). - Mẫu số \( (x - 2)^2 \) luôn dương khi \( x \neq 2 \). Do đó, ta xét dấu của \( x(x - 4) \) trên các khoảng: - Khi \( x < 0 \), \( x(x - 4) > 0 \) - Khi \( 0 < x < 4 \), \( x(x - 4) < 0 \) - Khi \( x > 4 \), \( x(x - 4) > 0 \) 3. Xác định khoảng đồng biến: - Hàm số \( f(x) \) đồng biến khi \( f'(x) > 0 \). - Từ kết quả trên, ta thấy \( f'(x) > 0 \) khi \( x < 0 \) hoặc \( x > 4 \). Do đó, hàm số \( f(x) \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, 0) \) và \( (4, +\infty) \). Trong các đáp án đã cho, chỉ có khoảng \( (2, +\infty) \) bao gồm một phần của khoảng \( (4, +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(2;+\infty). \] Câu 2: Để tìm điểm cực tiểu của hàm số \( y = f(x) \), ta cần tìm các điểm mà đạo hàm \( f'(x) \) thay đổi dấu từ âm sang dương. Bước 1: Tìm các điểm mà đạo hàm \( f'(x) \) bằng 0: \[ f'(x) = x^2(x-1)(x-2) = 0 \] Suy ra: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = 2 \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trong các khoảng giữa các điểm trên: - Khi \( x < 0 \): \( f'(x) = x^2(x-1)(x-2) \). Vì \( x^2 > 0 \), \( x-1 < 0 \), \( x-2 < 0 \), nên \( f'(x) > 0 \). - Khi \( 0 < x < 1 \): \( f'(x) = x^2(x-1)(x-2) \). Vì \( x^2 > 0 \), \( x-1 < 0 \), \( x-2 < 0 \), nên \( f'(x) < 0 \). - Khi \( 1 < x < 2 \): \( f'(x) = x^2(x-1)(x-2) \). Vì \( x^2 > 0 \), \( x-1 > 0 \), \( x-2 < 0 \), nên \( f'(x) < 0 \). - Khi \( x > 2 \): \( f'(x) = x^2(x-1)(x-2) \). Vì \( x^2 > 0 \), \( x-1 > 0 \), \( x-2 > 0 \), nên \( f'(x) > 0 \). Bước 3: Xác định các điểm cực tiểu: - Tại \( x = 0 \): \( f'(x) \) chuyển từ dương sang âm, do đó \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 1 \): \( f'(x) \) chuyển từ âm sang âm, do đó \( x = 1 \) không phải là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 2 \): \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương, do đó \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. Vậy hàm số \( y = f(x) \) đạt cực tiểu tại điểm \( x = 2 \). Đáp án đúng là: \( A.~x=2 \). Câu 3: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = g(x)$, ta thấy rằng: - Trên khoảng $(0; +\infty)$, hàm số $g(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm cực đại gần $x = 1$. - Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy giá trị của hàm số tại điểm cực đại này là 2. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số $y = g(x)$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là 2. Đáp án đúng là: B. 2. Câu 4: Để xác định công thức của hàm số bậc ba \( y = f(x) \) từ đồ thị, ta cần kiểm tra các điểm đặc biệt trên đồ thị và tính chất của hàm số. 1. Kiểm tra điểm \( (0, 5) \): - Đồ thị đi qua điểm \( (0, 5) \). Do đó, khi \( x = 0 \), \( y = 5 \). 2. Kiểm tra các điểm cực trị: - Đồ thị có hai điểm cực trị: một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Điểm cực đại nằm ở khoảng \( x < 0 \). - Điểm cực tiểu nằm ở khoảng \( x > 0 \). 3. Kiểm tra dấu của hệ số \( a \): - Vì đồ thị có dạng cong xuống ở hai đầu (tức là khi \( x \to -\infty \) và \( x \to +\infty \)), hệ số \( a \) của \( x^3 \) phải là âm. Điều này loại trừ các đáp án \( C \) và \( D \). 4. Kiểm tra các đáp án còn lại: - Đáp án \( A \): \( y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 5 \) - Đáp án \( B \): \( y = -x^3 + 6x^2 + 9x + 5 \) 5. Kiểm tra điểm cực trị: - Ta tính đạo hàm của cả hai hàm số để tìm điểm cực trị. - Đạo hàm của \( y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 5 \): \[ y' = -3x^2 + 12x - 9 \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 12x - 9 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \] - Kiểm tra dấu của đạo hàm: - \( y' > 0 \) khi \( 1 < x < 3 \) (hàm số tăng) - \( y' < 0 \) khi \( x < 1 \) hoặc \( x > 3 \) (hàm số giảm) - Vậy \( x = 1 \) là điểm cực tiểu và \( x = 3 \) là điểm cực đại. - Đạo hàm của \( y = -x^3 + 6x^2 + 9x + 5 \): \[ y' = -3x^2 + 12x + 9 \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 12x + 9 = 0 \implies x^2 - 4x - 3 = 0 \implies (x - 2)^2 - 7 = 0 \implies x = 2 \pm \sqrt{7} \] - Kiểm tra dấu của đạo hàm: - \( y' > 0 \) khi \( 2 - \sqrt{7} < x < 2 + \sqrt{7} \) (hàm số tăng) - \( y' < 0 \) khi \( x < 2 - \sqrt{7} \) hoặc \( x > 2 + \sqrt{7} \) (hàm số giảm) - Vậy \( x = 2 - \sqrt{7} \) là điểm cực tiểu và \( x = 2 + \sqrt{7} \) là điểm cực đại. 6. So sánh với đồ thị: - Đồ thị cho thấy điểm cực đại nằm ở khoảng \( x < 0 \) và điểm cực tiểu nằm ở khoảng \( x > 0 \). - Chỉ có đáp án \( A \) thỏa mãn điều kiện này. Vậy công thức của hàm số bậc ba đã cho là: \[ \boxed{A.~y = -x^3 + 6x^2 - 9x + 5} \] Câu 5: Để tìm tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng mẫu số liệu: Tổng số lượng mẫu số liệu là: \[ n = 2 + 4 + 10 + 5 + 3 = 24 \] 2. Xác định vị trí của tứ phân vị thứ ba: Tứ phân vị thứ ba (Q3) nằm ở vị trí: \[ \frac{3n}{4} = \frac{3 \times 24}{4} = 18 \] Vậy Q3 nằm ở vị trí thứ 18 trong dãy số đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần. 3. Xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ ba: Ta tính tổng tần số từ dưới lên để xác định nhóm chứa vị trí thứ 18: - Nhóm [30;60): 2 mẫu số liệu - Nhóm [60;90): 2 + 4 = 6 mẫu số liệu - Nhóm [90;120): 2 + 4 + 10 = 16 mẫu số liệu - Nhóm [120;150): 2 + 4 + 10 + 5 = 21 mẫu số liệu Như vậy, vị trí thứ 18 nằm trong nhóm [120;150). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nhóm: \[ \boxed{(120;150)} \]