Giải giup em

Câu 6: Để kiểm tra từng mệnh đề, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết. A. Bốn vectơ $\overrightarrow{AA'}, \overrightarrow{BB'}, \overrightarrow{CC'}, \overrightarrow{DD'}$ bằng nhau: - Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp, nên các cạnh AA', BB', CC', DD' đều song song và bằng nhau. Do đó, các vectơ $\overrightarrow{AA'}, \overrightarrow{BB'}, \overrightarrow{CC'}, \overrightarrow{DD'}$ cũng bằng nhau. Mệnh đề này đúng. B. Vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương: - M và N lần lượt là trung điểm của A'D' và D'C'. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác A'D'C', và MN song song với AC. Vậy $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương. Mệnh đề này đúng. C. $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DD} = \overrightarrow{DB}$: - Ta có $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DB}$ vì DB là đường chéo của hình bình hành ABCD. Thêm vào đó, $\overrightarrow{DD} = \overrightarrow{0}$ (vectơ không). Do đó, $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DD} = \overrightarrow{DB}$. Mệnh đề này đúng. D. $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QG} + \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{AC}$: - P và Q lần lượt là trung điểm của AA' và DD'. Do đó, PQ là đường trung bình của tam giác ADD', và PQ song song với AD. - G là điểm nằm trên C' sao cho C' = 4CG, tức là G chia đoạn C'C thành tỉ số 1:3. - Ta thấy rằng $\overrightarrow{PQ}$ không song song với $\overrightarrow{AC}$, và $\overrightarrow{QG}$ cũng không song song với $\overrightarrow{AC}$. Do đó, tổng $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QG} + \overrightarrow{DG}$ không thể bằng $\overrightarrow{AC}$. Mệnh đề này sai. Vậy mệnh đề sai là: D. $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QG} + \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{AC}$. Câu 7: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là sự chênh lệch giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu. Trong mẫu số liệu này: - Giá trị lớn nhất thuộc khoảng [8;10), ta lấy giá trị lớn nhất của khoảng này là 10. - Giá trị nhỏ nhất thuộc khoảng [2;4), ta lấy giá trị nhỏ nhất của khoảng này là 2. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: 10 - 2 = 8 Vậy đáp án đúng là B. 8. Câu 8: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng: - Tính trung tâm của mỗi khoảng thời gian. - Nhân trung tâm của mỗi khoảng với số lượng học sinh tương ứng. - Cộng tất cả các giá trị này lại và chia cho tổng số học sinh. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi trung tâm khoảng thời gian và trung bình cộng. - Nhân kết quả này với số lượng học sinh tương ứng. - Cộng tất cả các giá trị này lại và chia cho tổng số học sinh. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Tính trung bình cộng | Khoảng thời gian | Trung tâm khoảng | Số học sinh | Trung tâm Số học sinh | |-----------------|------------------|-------------|------------------------| | [12,5;14,5) | 13,5 | 9 | 13,5 9 = 121,5 | | [14,5;16,5) | 15,5 | 13 | 15,5 13 = 201,5 | | [16,5;18,5) | 17,5 | 17 | 17,5 17 = 297,5 | | [18,5;20,5) | 19,5 | 9 | 19,5 9 = 175,5 | | [20,5;22,5) | 21,5 | 4 | 21,5 4 = 86 | Tổng số học sinh: \(9 + 13 + 17 + 9 + 4 = 52\) Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{121,5 + 201,5 + 297,5 + 175,5 + 86}{52} = \frac{882,5}{52} \approx 16,97 \] Bước 2: Tính phương sai | Khoảng thời gian | Trung tâm khoảng | Số học sinh | Hiệu với trung bình | Bình phương hiệu | Số học sinh Bình phương hiệu | |-----------------|------------------|-------------|---------------------|------------------|--------------------------------| | [12,5;14,5) | 13,5 | 9 | 13,5 - 16,97 = -3,47 | (-3,47)^2 = 12,04 | 12,04 9 = 108,36 | | [14,5;16,5) | 15,5 | 13 | 15,5 - 16,97 = -1,47 | (-1,47)^2 = 2,16 | 2,16 13 = 28,08 | | [16,5;18,5) | 17,5 | 17 | 17,5 - 16,97 = 0,53 | (0,53)^2 = 0,28 | 0,28 17 = 4,76 | | [18,5;20,5) | 19,5 | 9 | 19,5 - 16,97 = 2,53 | (2,53)^2 = 6,40 | 6,40 9 = 57,60 | | [20,5;22,5) | 21,5 | 4 | 21,5 - 16,97 = 4,53 | (4,53)^2 = 20,52 | 20,52 4 = 82,08 | Phương sai: \[ s^2 = \frac{108,36 + 28,08 + 4,76 + 57,60 + 82,08}{52} = \frac{279,88}{52} \approx 5,38 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng 5,38. Lấy gần đúng đến hàng phần mười, ta có phương sai là 5,4. Đáp án đúng là: B. 5,4. Câu 9: Để xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \( y = x + 1 + \frac{x}{x^2 + 1} \), chúng ta sẽ kiểm tra từng loại tiệm cận: tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên. Kiểm tra tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng xuất hiện khi \( x \) tiến đến một giá trị làm mẫu số bằng 0. Ta xét mẫu số của phân thức \( \frac{x}{x^2 + 1} \): \[ x^2 + 1 = 0 \] \[ x^2 = -1 \] Phương trình này vô nghiệm vì \( x^2 \) luôn dương hoặc bằng 0, không thể bằng -1. Do đó, hàm số không có tiệm cận đứng. Kiểm tra tiệm cận ngang: Tiệm cận ngang xuất hiện khi \( y \) tiến đến một giá trị cố định khi \( x \) tiến đến vô cùng hoặc âm vô cùng. Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \left( x + 1 + \frac{x}{x^2 + 1} \right) \] Ta chia cả tử và mẫu của phân thức \( \frac{x}{x^2 + 1} \) cho \( x^2 \): \[ \frac{x}{x^2 + 1} = \frac{\frac{x}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}} = \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} \] Khi \( x \to \infty \), \( \frac{1}{x} \to 0 \) và \( \frac{1}{x^2} \to 0 \). Do đó: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{0}{1 + 0} = 0 \] Vậy: \[ \lim_{x \to \infty} \left( x + 1 + \frac{x}{x^2 + 1} \right) = \lim_{x \to \infty} (x + 1 + 0) = \infty \] Hàm số không có tiệm cận ngang. Kiểm tra tiệm cận xiên: Tiệm cận xiên xuất hiện khi \( y \) tiến đến một đường thẳng \( y = ax + b \) khi \( x \) tiến đến vô cùng hoặc âm vô cùng. Ta tính giới hạn của \( \frac{y}{x} \) và \( y - ax \): 1. Tính \( \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + \frac{x}{x^2 + 1}}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} + \frac{\frac{x}{x^2 + 1}}{x} \right) \] \[ = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2 + 1} \right) = 1 + 0 + 0 = 1 \] 2. Tính \( \lim_{x \to \infty} (y - x) \): \[ \lim_{x \to \infty} (y - x) = \lim_{x \to \infty} \left( x + 1 + \frac{x}{x^2 + 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{x^2 + 1} \right) \] \[ = 1 + 0 = 1 \] Vậy, hàm số có tiệm cận xiên là \( y = x + 1 \). Kết luận: Mệnh đề đúng là: C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là \( y = x + 1 \). Câu 10: Để tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ B của tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC): - Vectơ $\overrightarrow{AB} = (3-1, 2-0, 1-1) = (2, 2, 0)$ - Vectơ $\overrightarrow{BC} = (1-3, 2-2, 1-1) = (-2, 0, 0)$ Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (0, 0, 1)$ vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ nằm trên cùng một mặt phẳng và song song với trục Oy. 2. Phương trình đường thẳng qua B và vuông góc với mặt phẳng (ABC): - Đường thẳng này sẽ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{n} = (0, 0, 1)$. - Phương trình tham số của đường thẳng này là: \[ \begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \\ z = 1 + t \end{cases} \] 3. Tìm giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng AC: - Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AC} = (1-1, 2-0, 1-1) = (0, 2, 0)$. - Phương trình tham số của đường thẳng AC là: \[ \begin{cases} x = 1 \\ y = 0 + 2s \\ z = 1 \end{cases} \] 4. Tìm tọa độ giao điểm: - Để tìm giao điểm, ta giải hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3 = 1 \\ 2 = 0 + 2s \\ 1 + t = 1 \end{cases} \] - Từ phương trình thứ hai, ta có $2 = 2s \Rightarrow s = 1$. - Từ phương trình thứ ba, ta có $1 + t = 1 \Rightarrow t = 0$. Do đó, tọa độ giao điểm là $(1, 1, 1)$. Vậy tọa độ chân đường cao kẻ từ B của tam giác ABC là $(1, 1, 1)$. Đáp án đúng là: C. (1;1;1). Câu 11: Để tính $|\overrightarrow a + \overrightarrow b|$, ta sử dụng công thức tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ: \[ |\overrightarrow a + \overrightarrow b|^2 = |\overrightarrow a|^2 + |\overrightarrow b|^2 + 2(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b) \] Ta đã biết: - $|\overrightarrow a| = 5$ - $|\overrightarrow b| = \sqrt{5}$ - $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 3$ Thay các giá trị này vào công thức trên: \[ |\overrightarrow a + \overrightarrow b|^2 = 5^2 + (\sqrt{5})^2 + 2 \times 3 \] Tính toán từng phần: \[ 5^2 = 25 \] \[ (\sqrt{5})^2 = 5 \] \[ 2 \times 3 = 6 \] Cộng lại: \[ |\overrightarrow a + \overrightarrow b|^2 = 25 + 5 + 6 = 36 \] Do đó: \[ |\overrightarrow a + \overrightarrow b| = \sqrt{36} = 6 \] Vậy đáp án đúng là: C. 6 Câu 12: Để tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng tọa độ (Oxy), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình tham số của đường thẳng AB: - Điểm A có tọa độ $(1, 0, 3)$. - Điểm B có tọa độ $(x-3, 6)$. Vector $\overrightarrow{AB} = (x-3 - 1, 6 - 0, 0 - 3) = (x-4, 6, -3)$. Phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ \begin{cases} x = 1 + t(x-4) \\ y = 0 + 6t \\ z = 3 - 3t \end{cases} \] 2. Tìm giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (Oxy): Mặt phẳng (Oxy) có phương trình $z = 0$. Thay vào phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ 3 - 3t = 0 \implies t = 1 \] 3. Thay giá trị $t = 1$ vào phương trình tham số để tìm tọa độ giao điểm: \[ \begin{cases} x = 1 + 1(x-4) = 1 + x - 4 = x - 3 \\ y = 6 \cdot 1 = 6 \\ z = 3 - 3 \cdot 1 = 0 \end{cases} \] Do đó, tọa độ giao điểm là $(x-3, 6, 0)$. 4. Kiểm tra lại các đáp án: - Đáp án A: $(1, 0, 0)$ - Đáp án B: $(-1, 3, 0)$ - Đáp án C: $(2, 1, 0)$ - Đáp án D: $(-1, 3, 3)$ Ta thấy rằng tọa độ giao điểm $(x-3, 6, 0)$ không khớp với bất kỳ đáp án nào trong các đáp án đã cho. Điều này có thể do lỗi trong việc đặt tọa độ của điểm B hoặc do lỗi trong các đáp án đã cho. Do đó, cần kiểm tra lại đề bài và các đáp án đã cho để đảm bảo tính chính xác.