Giúp mình vs

Câu 18. Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \( d \) và \( d' \), ta cần kiểm tra xem chúng có cùng phương hay không và nếu không thì chúng có cắt nhau hay không. 1. Kiểm tra phương của hai đường thẳng: - Đường thẳng \( d \) có vectơ chỉ phương là \( \vec{u} = (12, 6, 3) \). - Đường thẳng \( d' \) có vectơ chỉ phương là \( \vec{v} = (8, 4, 2) \). Ta thấy rằng: \[ \vec{u} = 1.5 \cdot \vec{v} \] Do đó, hai vectơ chỉ phương này là bội của nhau, tức là hai đường thẳng \( d \) và \( d' \) có cùng phương. 2. Kiểm tra xem hai đường thẳng có trùng nhau hay không: - Ta cần kiểm tra xem có điểm chung nào giữa hai đường thẳng hay không. - Gọi \( M_1(-1 + 12t, 2 + 6t, 3 + 3t) \) là điểm trên đường thẳng \( d \). - Gọi \( M_2(7 + 8s, 6 + 4s, 5 + 2s) \) là điểm trên đường thẳng \( d' \). Để hai điểm này trùng nhau, ta cần: \[ -1 + 12t = 7 + 8s \] \[ 2 + 6t = 6 + 4s \] \[ 3 + 3t = 5 + 2s \] Giải hệ phương trình này: - Từ phương trình thứ nhất: \[ -1 + 12t = 7 + 8s \] \[ 12t - 8s = 8 \] \[ 3t - 2s = 2 \quad \text{(1)} \] - Từ phương trình thứ hai: \[ 2 + 6t = 6 + 4s \] \[ 6t - 4s = 4 \] \[ 3t - 2s = 2 \quad \text{(2)} \] - Từ phương trình thứ ba: \[ 3 + 3t = 5 + 2s \] \[ 3t - 2s = 2 \quad \text{(3)} \] Cả ba phương trình đều dẫn đến cùng một phương trình \( 3t - 2s = 2 \). Điều này cho thấy hai đường thẳng có cùng phương và có điểm chung, do đó chúng trùng nhau. Kết luận: Hai đường thẳng \( d \) và \( d' \) trùng nhau. Đáp án đúng là: A. Trùng nhau. Câu 19. Để tìm đường thẳng đi qua điểm \( A(0;0;2) \) và vuông góc với mặt phẳng \( (BCD) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \( (BCD) \): - Tìm hai vectơ trong mặt phẳng \( (BCD) \): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (1-2, 2-1, -1-0) = (-1, 1, -1) \] \[ \overrightarrow{BD} = D - B = (2-2, 0-1, -2-0) = (0, -1, -2) \] - Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) của mặt phẳng \( (BCD) \) là tích vector của \( \overrightarrow{BC} \) và \( \overrightarrow{BD} \): \[ \vec{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot (-2) - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j}((-1) \cdot (-2) - (-1) \cdot 0) + \vec{k}((-1) \cdot (-1) - 1 \cdot 0) \] \[ = \vec{i}(-2 - 1) - \vec{j}(2 - 0) + \vec{k}(1 - 0) = -3\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k} \] Vậy \( \vec{n} = (-3, -2, 1) \). 2. Phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(0;0;2) \) và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (-3, -2, 1) \): - Đường thẳng này sẽ có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 - 3t \\ y = 0 - 2t \\ z = 2 + t \end{array} \right. \] Điều này tương ứng với đáp án \( D \). Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(0;0;2) \) và vuông góc với mặt phẳng \( (BCD) \) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3t \\ y = 2t \\ z = 2 + t \end{array} \right. \] Đáp án đúng là: \( D \). Câu 20. Để tìm phương trình đường thẳng $\Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $x + z - 5 = 0$ và $x - 2y - z + 3 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điểm thuộc đường thẳng $\Delta$: - Chọn $z = 0$ để dễ tính toán. - Thay $z = 0$ vào phương trình $x + z - 5 = 0$: \[ x + 0 - 5 = 0 \implies x = 5 \] - Thay $x = 5$ và $z = 0$ vào phương trình $x - 2y - z + 3 = 0$: \[ 5 - 2y - 0 + 3 = 0 \implies 8 - 2y = 0 \implies y = 4 \] - Vậy điểm $(5, 4, 0)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $x + z - 5 = 0$ là $\vec{n_1} = (1, 0, 1)$. - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $x - 2y - z + 3 = 0$ là $\vec{n_2} = (1, -2, -1)$. - Vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{u} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$: \[ \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot (-1) - 1 \cdot (-2)) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot (-2) - 0 \cdot 1) \] \[ \vec{u} = \vec{i}(2) - \vec{j}(-2) + \vec{k}(-2) = 2\vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k} = (2, 2, -2) \] 3. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$: - Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $(5, 4, 0)$ và có vectơ chỉ phương $(2, 2, -2)$. - Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \frac{x - 5}{2} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z - 0}{-2} \] - Đơn giản hóa phương trình: \[ \frac{x - 5}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z}{-1} \] 4. So sánh với các đáp án: - Đáp án A: $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{-1}$ - Đáp án B: $\frac{x + 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{-1}$ - Đáp án C: $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 3}{-1}$ - Đáp án D: $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{-1}$ Ta thấy rằng phương trình $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z}{-1}$ không trùng khớp với bất kỳ đáp án nào trong các đáp án đã cho. Do đó, có thể có lỗi trong việc so sánh hoặc các đáp án đã cho không chính xác. Kết luận: Phương trình đường thẳng $\Delta$ là $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 4}{1} = \frac{z}{-1}$. Tuy nhiên, không có đáp án nào trong các đáp án đã cho đúng với phương trình này. Câu 21. Để kiểm tra xem mệnh đề I có đúng hay sai, ta cần xác định xem vectơ $\overrightarrow{u} = (3; 4; 1)$ có phải là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ hay không. Đường thẳng $d$ được cho dưới dạng phương trình tham số: \[ d: \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 5}{4} = \frac{z - 2}{-1} \] Từ phương trình này, ta thấy rằng vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow{u_d} = (3; 4; -1)$. So sánh vectơ $\overrightarrow{u} = (3; 4; 1)$ với vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$, ta thấy rằng: - Phần tử thứ nhất của cả hai vectơ đều là 3. - Phần tử thứ hai của cả hai vectơ đều là 4. - Phần tử thứ ba của vectơ $\overrightarrow{u}$ là 1, trong khi phần tử thứ ba của vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là -1. Như vậy, vectơ $\overrightarrow{u} = (3; 4; 1)$ không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Do đó, mệnh đề I là sai. Đáp án: Mệnh đề I là sai.