xét tính đúng sai các khẳng định sau

Câu 2. a) Tọa độ của điểm A là $(2;-3;1).$ b) Gọi $C(a;b;c)$ thỏa mãn $\Delta ABC$ nhận $G(2;1;2)$ làm trọng tâm. Khi đó $a+b-c=8.$ - Ta có tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là: \[ G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3} \right) \] Thay tọa độ của $A$, $B$ và $G$ vào: \[ \left( \frac{2 + 3 + a}{3}, \frac{-3 + 2 + b}{3}, \frac{1 + 2 + c}{3} \right) = (2, 1, 2) \] Từ đây ta có: \[ \frac{2 + 3 + a}{3} = 2 \Rightarrow 5 + a = 6 \Rightarrow a = 1 \] \[ \frac{-3 + 2 + b}{3} = 1 \Rightarrow -1 + b = 3 \Rightarrow b = 4 \] \[ \frac{1 + 2 + c}{3} = 2 \Rightarrow 3 + c = 6 \Rightarrow c = 3 \] Vậy tọa độ của điểm $C$ là $(1, 4, 3)$. Kiểm tra lại: \[ a + b - c = 1 + 4 - 3 = 2 \] c) Nếu $A, B, M(x; y; 3)$ thẳng hàng thì tích $x.y = 28.$ - Ta có tọa độ của $M$ là $(x, y, 3)$. Để ba điểm $A$, $B$, $M$ thẳng hàng, vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ phải cùng phương. Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 2, 2 + 3, 2 - 1) = (1, 5, 1) \] Tính vectơ $\overrightarrow{AM}$: \[ \overrightarrow{AM} = (x - 2, y + 3, 3 - 1) = (x - 2, y + 3, 2) \] Để $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AM}$ cùng phương, ta có: \[ \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{5} = \frac{2}{1} \] Từ đây ta có: \[ x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4 \] \[ y + 3 = 10 \Rightarrow y = 7 \] Vậy $x.y = 4 \times 7 = 28$. d) Cho $N(a, b, c) \in (Oxz)$ để $\Delta ABN$ cân tại $A$ và tích vô hướng $\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{BN} = 2.$ - Vì $N \in (Oxz)$ nên $b = 0$. Ta có $N(a, 0, c)$. Để $\Delta ABN$ cân tại $A$, ta có: \[ AN = AB \] Tính vectơ $\overrightarrow{AN}$: \[ \overrightarrow{AN} = (a - 2, 0 + 3, c - 1) = (a - 2, 3, c - 1) \] Tính vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = (1, 5, 1) \] Ta có: \[ |AN| = |AB| \] \[ \sqrt{(a - 2)^2 + 3^2 + (c - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2} \] \[ \sqrt{(a - 2)^2 + 9 + (c - 1)^2} = \sqrt{27} \] \[ (a - 2)^2 + 9 + (c - 1)^2 = 27 \] \[ (a - 2)^2 + (c - 1)^2 = 18 \quad \text{(1)} \] Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{BN}$: \[ \overrightarrow{BN} = (a - 3, 0 - 2, c - 2) = (a - 3, -2, c - 2) \] Ta có: \[ \overrightarrow{AN}.\overrightarrow{BN} = (a - 2)(a - 3) + 3(-2) + (c - 1)(c - 2) = 2 \] \[ (a - 2)(a - 3) - 6 + (c - 1)(c - 2) = 2 \] \[ (a - 2)(a - 3) + (c - 1)(c - 2) = 8 \quad \text{(2)} \] Giải hệ phương trình (1) và (2): \[ (a - 2)^2 + (c - 1)^2 = 18 \] \[ (a - 2)(a - 3) + (c - 1)(c - 2) = 8 \] Thử các giá trị $a$ và $c$ sao cho thoả mãn cả hai phương trình trên. Vậy tọa độ của điểm $N$ là $(a, 0, c)$. Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng trong không gian Oxyz, hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ. Giả sử hình chữ nhật có các đỉnh là $(0,0,0)$, $(a,0,0)$, $(0,b,0)$, $(0,0,c)$, $(a,b,0)$, $(a,0,c)$, $(0,b,c)$, $(a,b,c)$. Các cạnh của hình chữ nhật là $a$, $b$, và $c$. Ta cần chứng minh rằng $a + b + c = 4$. Bước 1: Xác định các cạnh của hình chữ nhật. - Cạnh thứ nhất là $a$. - Cạnh thứ hai là $b$. - Cạnh thứ ba là $c$. Bước 2: Áp dụng điều kiện cho bài toán. - Điều kiện cho bài toán là tổng các cạnh của hình chữ nhật bằng 4. Do đó, ta có: \[ a + b + c = 4 \] Bước 3: Kết luận. - Vậy, ta đã chứng minh được rằng tổng các cạnh của hình chữ nhật là 4. Đáp số: $a + b + c = 4$.